Чтобы решить задачу и найти внешний угол при вершине ( K ) в треугольнике ( \triangle MNK ) с известными углом ( \angle NMK = 30^\circ ) и равными сторонами ( MK = KN ), следуем шаг за шагом:
Шаг 1: Понимание условий задачи
Мы знаем, что:
- Угол ( \angle NMK = 30^\circ ).
- Две стороны ( MK ) и ( KN ) равны, это указывает на то, что треугольник ( MNK ) является изосциллическим (две равные стороны).
Шаг 2: Определение углов треугольника
В изосциллическом треугольнике углы напротив равных сторон равны. Обозначим ( \angle MKN ) и ( \angle MNK ) как равные уголки.
Шаг 3: Применение теоремы о сумме углов треугольника
Сумма углов в любом треугольнике равна ( 180^\circ ). У нас есть:
[
\angle NMK + \angle MKN + \angle MNK = 180^\circ
]
Обозначим ( \angle MKN = \angle MNK = x ). Тогда у нас есть уравнение:
[
30^\circ + x + x = 180^\circ
]
Шаг 4: Решение уравнения
Упростим уравнение:
[
30^\circ + 2x = 180^\circ
]
Вычтем ( 30^\circ ) из обеих сторон:
[
2x = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ
]
Теперь разделим обе стороны на 2:
[
x = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ
]
Таким образом:
[
\angle MKN = \angle MNK = 75^\circ
]
Шаг 5: Нахождение внешнего угла при вершине ( K )
Внешний угол при вершине ( K ) обозначается как ( \angle MKN' ), где ( N' ) — это продолжение стороны ( KN ). Внешний угол равен сумме двух противолежащих внутренних углов:
[
\angle MKN' = \angle NMK + \angle MNK
]
Подставим известные значения:
[
\angle MKN' = 30^\circ + 75^\circ = 105^\circ
]
Ответ
Внешний угол при вершине ( K ) равен ( 105^\circ ).
