В треугольнике M N K MNK угол N M K NMK равен 3 0 ∘ 30 ∘ , M K = K N MK=KN . Найди внешний угол при вершине K K .

Чтобы решить задачу и найти внешний угол при вершине \( K \) в треугольнике \( \triangle MNK \) с известными углом \( \angle NMK = 30^\circ \) и равными сторонами \( MK = KN \), следуем шаг за шагом:

Шаг 1: Понимание условий задачи

Мы знаем, что:

• Угол \( \angle NMK = 30^\circ \).
• Две стороны \( MK \) и \( KN \) равны, это указывает на то, что треугольник \( MNK \) является изосциллическим (две равные стороны).

Шаг 2: Определение углов треугольника

В изосциллическом треугольнике углы напротив равных сторон равны. Обозначим \( \angle MKN \) и \( \angle MNK \) как равные уголки.

Шаг 3: Применение теоремы о сумме углов треугольника

Сумма углов в любом треугольнике равна \( 180^\circ \). У нас есть: \[ \angle NMK + \angle MKN + \angle MNK = 180^\circ \]

Обозначим \( \angle MKN = \angle MNK = x \). Тогда у нас есть уравнение: \[ 30^\circ + x + x = 180^\circ \]

Шаг 4: Решение уравнения

Упростим уравнение: \[ 30^\circ + 2x = 180^\circ \] Вычтем \( 30^\circ \) из обеих сторон: \[ 2x = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \] Теперь разделим обе стороны на 2: \[ x = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ \]

Таким образом: \[ \angle MKN = \angle MNK = 75^\circ \]

Шаг 5: Нахождение внешнего угла при вершине \( K \)

Внешний угол при вершине \( K \) обозначается как \( \angle MKN' \), где \( N' \) — это продолжение стороны \( KN \). Внешний угол равен сумме двух противолежащих внутренних углов: \[ \angle MKN' = \angle NMK + \angle MNK \]

Подставим известные значения: \[ \angle MKN' = 30^\circ + 75^\circ = 105^\circ \]

Ответ

Внешний угол при вершине \( K \) равен \( 105^\circ \).