3. С помощью схемы графика функции у = 2x? - 7х + 3, изобра-женной на рисунке, решите неравенство 2x? - 7х + 3 ≥ 0.
Чтобы решить неравенство \(2x^2 - 7x + 3 \geq 0\), необходимо выполнить следующие шаги:
Найти корни квадратного уравнения: Мы начнём с нахождения корней уравнения \(2x^2 - 7x + 3 = 0\). Используем формулу для решения квадратных уравнений:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Где \(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 3\).
Сначала находим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 \]
Теперь можем найти корни:
\[ x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3 \]
\[ x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
Определить интервалы: Теперь мы знаем, что корни уравнения \(x_1 = 3\) и \(x_2 = \frac{1}{2}\). Это делит числовую ось на три интервала:
- \((-∞, \frac{1}{2})\)
- \((\frac{1}{2}, 3)\)
- \((3, +∞)\)
Проверить знак функции на каждом интервале: Выберем тестовые точки в каждом из интервалов для проверки знака функции:
Для интервала \((-∞, \frac{1}{2})\), возьмем \(x = 0\):
\[ 2(0)^2 - 7(0) + 3 = 3 \quad (\text{положительное значение}) \]
Для интервала \((\frac{1}{2}, 3)\), возьмем \(x = 1\):
\[ 2(1)^2 - 7(1) + 3 = 2 - 7 + 3 = -2 \quad (\text{отрицательное значение}) \]
Для интервала \((3, +∞)\), возьмем \(x = 4\):
\[ 2(4)^2 - 7(4) + 3 = 32 - 28 + 3 = 7 \quad (\text{положительное значение}) \]
Записать ответ для неравенства: Теперь мы имеем знаки функции:
- На интервале \((-∞, \frac{1}{2})\) функция положительная.
- На интервале \((\frac{1}{2}, 3)\) функция отрицательная.
- На интервале \((3, +∞)\) функция положительная.
Неравенство \(2x^2 - 7x + 3 \geq 0\) выполняется в интервалах \((-∞, \frac{1}{2}]\) и \([3, +∞)\).
Таким образом, решение неравенства \(2x^2 - 7x + 3 \geq 0\):
\[ x \in (-\infty, \frac{1}{2}] \cup [3, +\infty) \]
