найдите вероятность элементарного события в котором вероятность успеха испытания p=0,2, а перед успехом случилось ровно 3 неуспеха
Для решения задачи о вероятности элементарного события, где вероятность успеха \( p = 0.2 \) (20%), а перед успехом произошло ровно 3 неуспеха, мы воспользуемся понятием геометрического распределения.
Шаг 1: Понимание условий
- Успех — это то событие, к которому мы стремимся, вероятность которого равна \( p = 0.2 \).
- Неуспех — это противоположное событие, вероятность которого равна \( 1 - p = 0.8 \).
- Мы знаем, что перед первым успехом должно произойти ровно 3 неуспеха.
Шаг 2: Формулирование проблемы
Ситуация, когда до успеха происходит \( k \) неуспехов (в нашем случае \( k = 3 \)), можно описать с помощью следующей формулы вероятности для геометрического распределения:
\[ P(X = k) = (1-p)^k \cdot p \]
где:
- \( k \) — количество неуспехов (в нашем случае 3),
- \( p \) — вероятность успеха,
- \( 1-p \) — вероятность неуспеха.
Шаг 3: Подстановка значений
Подставим наши значения в формулу:
\[ P(X = 3) = (1 - 0.2)^3 \cdot 0.2 \]
Теперь упростим каждый элемент:
Вычислим \( 1 - 0.2 \): \[ 1 - 0.2 = 0.8 \]
Теперь возведем это значение в степень 3: \[ (0.8)^3 = 0.512 \]
Умножим полученное значение на \( p \): \[ P(X = 3) = 0.512 \cdot 0.2 = 0.1024 \]
Шаг 4: Итоговый ответ
Таким образом, вероятность того, что до первого успеха произойдет ровно 3 неуспеха, составляет:
\[ P(X = 3) = 0.1024 \]
Заключение
Вероятность элементарного события, при которых перед успехом случилось ровно 3 неуспеха, равна 0.1024 или 10.24%. Это довольно низкая вероятность, что и ожидаемо, так как успех происходит только в 20% случаев.
