Для решения задачи о вероятности элементарного события, где вероятность успеха ( p = 0.2 ) (20%), а перед успехом произошло ровно 3 неуспеха, мы воспользуемся понятием геометрического распределения.
Шаг 1: Понимание условий
- Успех — это то событие, к которому мы стремимся, вероятность которого равна ( p = 0.2 ).
- Неуспех — это противоположное событие, вероятность которого равна ( 1 - p = 0.8 ).
- Мы знаем, что перед первым успехом должно произойти ровно 3 неуспеха.
Шаг 2: Формулирование проблемы
Ситуация, когда до успеха происходит ( k ) неуспехов (в нашем случае ( k = 3 )), можно описать с помощью следующей формулы вероятности для геометрического распределения:
[
P(X = k) = (1-p)^k \cdot p
]
где:
- ( k ) — количество неуспехов (в нашем случае 3),
- ( p ) — вероятность успеха,
- ( 1-p ) — вероятность неуспеха.
Шаг 3: Подстановка значений
Подставим наши значения в формулу:
[
P(X = 3) = (1 - 0.2)^3 \cdot 0.2
]
Теперь упростим каждый элемент:
Вычислим ( 1 - 0.2 ):
[
1 - 0.2 = 0.8
]
Теперь возведем это значение в степень 3:
[
(0.8)^3 = 0.512
]
Умножим полученное значение на ( p ):
[
P(X = 3) = 0.512 \cdot 0.2 = 0.1024
]
Шаг 4: Итоговый ответ
Таким образом, вероятность того, что до первого успеха произойдет ровно 3 неуспеха, составляет:
[
P(X = 3) = 0.1024
]
Заключение
Вероятность элементарного события, при которых перед успехом случилось ровно 3 неуспеха, равна 0.1024 или 10.24%. Это довольно низкая вероятность, что и ожидаемо, так как успех происходит только в 20% случаев.
