Решим уравнение ( x^2 - 2\sqrt{5}x - 4 = 0 ) методом выделения полного квадрата. Давайте разберем решение шаг за шагом.
Шаг 1: Перепишите уравнение.
У нас есть уравнение:
[
x^2 - 2\sqrt{5}x - 4 = 0.
]
Для удобства выделим квадраты, оставив константу на другой стороне:
[
x^2 - 2\sqrt{5}x = 4.
]
Шаг 2: Найдите квадратное выражение.
Теперь нам нужно выделить полный квадрат. В данном случае полный квадрат имеет вид:
[
(x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2.
]
Сравним с нашим выражением (x^2 - 2\sqrt{5}x):
- Здесь (2a = 2\sqrt{5}), следовательно, (a = \sqrt{5}).
Теперь добавим (a^2) (то есть (5)) к обеим сторонам уравнения:
[
x^2 - 2\sqrt{5}x + 5 = 4 + 5.
]
Шаг 3: Упростите уравнение.
Теперь упростим правую часть уравнения:
[
(x - \sqrt{5})^2 = 9.
]
Шаг 4: Извлечение корня.
Теперь извлекаем корень из обеих сторон:
[
x - \sqrt{5} = \pm 3.
]
Шаг 5: Решите для (x).
Теперь решаем два возможных уравнения:
- (x - \sqrt{5} = 3)
- (x - \sqrt{5} = -3)
Для первого уравнения:
[
x = 3 + \sqrt{5}.
]
Для второго уравнения:
[
x = -3 + \sqrt{5}.
]
Шаг 6: Запишите окончательный ответ.
Таким образом, у нас есть два решения:
[
x_1 = 3 + \sqrt{5},
]
[
x_2 = -3 + \sqrt{5}.
]
Итог:
Уравнение (x^2 - 2\sqrt{5}x - 4 = 0) имеет два решения:
(x = 3 + \sqrt{5}) и (x = -3 + \sqrt{5}).
Теперь вы понимаете, как решить уравнение методом выделения полного квадрата! Если у вас есть вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
