Углы А и C треугольника ABC равны соответственно 72° и 78°.Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если длина стороны АC равна 10.
Для решения этой задачи давайте сначала вспомним некоторые важные теоремы и формулы, относящиеся к треугольникам.
Информация о треугольнике:
В треугольнике ABC у нас есть:
- Угол A = 72°
- Угол C = 78°
- Сторона AC = 10
Шаг 1: Находим угол B
Сумма углов треугольника равна 180°: \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180° \] Подставим известные значения: \[ 72° + \angle B + 78° = 180° \] \[ \angle B = 180° - 72° - 78° = 30° \]
Шаг 2: Применяем формулу для радиуса описанной окружности
Радиус окружности, описанной около треугольника, можно найти по формуле: \[ R = \frac{a}{2 \sin A} \] где \( a \) — длина стороны напротив угла A, а \( A \) — угол A.
Шаг 3: Находим стороны треугольника
Сторона AC равна 10 и является стороной \( a \), которая противолежит углу B. Стороны AB и BC мы ещё не знаем, для этого используем закон синусов: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]
В нашем случае:
- \( a = 10 \) (напротив угла B)
- \( A = 72° \)
- \( B = 30° \)
Запишем это в виде пропорций: \[ \frac{10}{\sin 30°} = \frac{b}{\sin 72°} \] \[ \sin 30° = \frac{1}{2} \rightarrow \frac{10}{\frac{1}{2}} = 20 \] Значит: \[ \frac{b}{\sin 72°} = 20 \rightarrow b = 20 \cdot \sin 72° \]
Используя значение \(\sin 72° \approx 0.9511\): \[ b \approx 20 \cdot 0.9511 \approx 19.022 \]
Теперь находим сторону \( c \): \[ \frac{10}{\sin 30°} = \frac{c}{\sin 78°} \] \[ c = 20 \cdot \sin 78° \] С учетом \(\sin 78° \approx 0.9781\): \[ c \approx 20 \cdot 0.9781 \approx 19.562 \]
Шаг 4: Нахождение радиуса окружности
Теперь у нас есть все стороны. Используем формулу для радиуса: \[ R = \frac{10}{2 \sin 72°} \] Подставим \( \sin 72° \approx 0.9511 \): \[ R \approx \frac{10}{2 \cdot 0.9511} \approx \frac{10}{1.9022} \approx 5.26 \]
Ответ:
Радиус описанной окружности около треугольника ABC составляет примерно \( R \approx 5.26 \).
