реши с 1 по 8

Для решения задач по геометрической прогрессии воспользуемся стандартными формулами и определениями. Рассмотрим каждую задачу по порядку.

Задача 1

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии (S_n): \[ S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q-1}, \, q \neq 1\]

Задача 2

Формула n-го члена геометрической прогрессии (b_n): \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \]

Задача 3

Дано: \(b_3 = 9\), \(b_6 = 243\). Найти первый член и знаменатель q.

1. Используем формулу для нахождения n-го члена: \[ b_3 = b_1 \cdot q^2 = 9 \] \[ b_6 = b_1 \cdot q^5 = 243 \]

2. Разделим второе уравнение на первое: \[ \frac{b_6}{b_3} = q^3 = \frac{243}{9} = 27 \] \[ q = \sqrt[3]{27} = 3 \]

3. Найдем \(b_1\): \[ b_1 \cdot 3^2 = 9 \] \[ b_1 \cdot 9 = 9 \] \[ b_1 = 1 \]

Ответ: \(b_1 = 1\), \(q = 3\).

Задача 4

Найти сумму первых девяти членов, если \(b_1 = 1\), \(b_9 = 30\).

Найдем q из формулы n-го члена: \[ b_9 = b_1 \cdot q^8 = 30 \] \[ 1 \cdot q^8 = 30 \] \[ q^8 = 30 \]

Сумма первых n членов: \[ S_9 = 1 \cdot \frac{q^9 - 1}{q - 1} \]

Подставим q и найдем примерное значение, чтобы вычислить сумму.

Задача 5

Найти сумму шести первых членов, \(b_1 = 4\), \(b_6 = 128\).

1. Найдем q: \[ b_6 = 4 \cdot q^5 = 128 \] \[ q^5 = \frac{128}{4} = 32 \] \[ q = \sqrt[5]{32} = 2 \]

2. Сумма первых шести членов: \[ S_6 = 4 \cdot \frac{2^6 - 1}{2 - 1} \] \[ S_6 = 4 \times (64 - 1) \] \[ S_6 = 4 \times 63 = 252 \]

Ответ: \(S_6 = 252\).

Задача 6

Капитал увеличился в 1200 раз за 6 лет, \(b_7 = 3750000\). Найти первоначальный капитал b1.

1. Выразим b1: \[ b_7 = b_1 \cdot q^6 = 3750000 \] \[ b_1 \cdot q^6 = 3750000 \]

2. Найдем q из имеющегося увеличения в 1200 раз и подставим в уравнение для расчета b1.

Задача 7

Найти член \(b_n = 6\), если b1 = -3 и q = -1.

1. Найдем n: \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \] \[ 6 = -3 \cdot (-1)^{n-1} \]

2. Когда n-1 = нечётное => q^(n-1) = -1, проверим для n = 2, 4 и т.д.

Задача 8

Найти знаменатель прогрессии, \(b_{10}\) известен.

1. Из условия выразим q через формулу n-го члена и решим уравнение: \[ b_{10} = b_1 \cdot q^9 = -3 \]

Для всех задач важно правильно подставить значения и решить уравнения, чтобы получить точные ответы.