Чтобы найти угловой коэффициент касательной к графику функции ( f(x) = 6x - \frac{2}{x} ) в точке с координатами ((-1, 8)), сначала нам нужно вычислить производную функции. Производная в данной точке будет равна угловому коэффициенту касательной.
Шаг 1: Найдем производную функции ( f(x) )
Функция ( f(x) ) состоит из двух частей: линейной и дробной. Чтобы произвести расчет, воспользуемся правилами дифференцирования.
Производная от линейной части ( 6x ):
[
\frac{d}{dx}(6x) = 6
]
Производная от дробной части ( -\frac{2}{x} ):
Используем правило дифференцирования дробей:
[
\frac{d}{dx}\left(-\frac{2}{x}\right) = -2 \cdot \frac{d}{dx}(x^{-1}) = -2 \cdot (-1)x^{-2} = \frac{2}{x^2}
]
Теперь, объединяя производные обеих частей, получаем:
[
f'(x) = 6 + \frac{2}{x^2}
]
Шаг 2: Найдем производную в точке ( x = -1 )
Теперь подставим ( x = -1 ) в полученную производную:
[
f'(-1) = 6 + \frac{2}{(-1)^2} = 6 + \frac{2}{1} = 6 + 2 = 8
]
Шаг 3: Угловой коэффициент касательной
Угловой коэффициент касательной в точке ((-1, 8)) будет равен ( f'(-1) ), который мы нашли равным 8. Это значение означает, что касательная к графику функции в данной точке поднимается вверх с углом наклона, равным 8.
Ответ
Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции ( f(x) = 6x - \frac{2}{x} ) в точке ((-1, 8)), равен 8.
