реши систему уравнений методом замены переменных (х+2у)²+(у-2х)²=90, (х+2у) +(у-2х) =12.

Для решения данной системы уравнений мы будем использовать метод замены переменных. У нас есть следующие уравнения:

1. \((x + 2y)^2 + (y - 2x)^2 = 90\) (уравнение 1)
2. \((x + 2y) + (y - 2x) = 12\) (уравнение 2)

Шаг 1: Вводим замены

Чтобы упростить уравнения, давайте введем новые переменные:

• Обозначим \(A = x + 2y\)
• Обозначим \(B = y - 2x\)

Теперь перепишем наши уравнения через \(A\) и \(B\):

1. \(A^2 + B^2 = 90\)
2. \(A + B = 12\)

Шаг 2: Извлечем одно уравнение

Из уравнения \(A + B = 12\) выразим \(B\):

\[ B = 12 - A \]

Шаг 3: Подставим \(B\) в первое уравнение

Теперь подставим выражение для \(B\) в первое уравнение:

\[ A^2 + (12 - A)^2 = 90 \]

Раскроем скобки:

\[ A^2 + (12^2 - 24A + A^2) = 90 \] \[ A^2 + 144 - 24A + A^2 = 90 \] \[ 2A^2 - 24A + 144 = 90 \]

Шаг 4: Упростим уравнение

Теперь упростим его, перенесем 90 влево:

\[ 2A^2 - 24A + 54 = 0 \]

Разделим всё на 2:

\[ A^2 - 12A + 27 = 0 \]

Шаг 5: Найдем корни уравнения

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 144 - 108 = 36 \]

Теперь найдем корни:

\[ A_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + 6}{2} = 9 \] \[ A_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - 6}{2} = 3 \]

Шаг 6: Найдем соответствующие \(B\)

Теперь найдем \(B\) для каждого найденного \(A\):

1. Если \(A = 9\): \[ B = 12 - 9 = 3 \]

2. Если \(A = 3\): \[ B = 12 - 3 = 9 \]

Шаг 7: Вернемся к исходным переменным

Теперь у нас есть две пары: \( (A_1, B_1) = (9, 3) \) и \( (A_2, B_2) = (3, 9) \).

Теперь вернемся к исходным переменным:

\[ x + 2y = A \] \[ y - 2x = B \]

Первый случай: \(A = 9\), \(B = 3\)

1. \(x + 2y = 9\) (уравнение 1)
2. \(y - 2x = 3\) (уравнение 2)

Решим систему:

Из уравнения 2 выразим \(y\):

\[ y = 3 + 2x \]

Подставим во 1-ое уравнение:

\[ x + 2(3 + 2x) = 9 \] \[ x + 6 + 4x = 9 \] \[ 5x + 6 = 9 \] \[ 5x = 3 \implies x = \frac{3}{5} \]

Теперь найдем \(y\):

\[ y = 3 + 2 \cdot \frac{3}{5} = 3 + \frac{6}{5} = \frac{15}{5} + \frac{6}{5} = \frac{21}{5} \]

Второй случай: \(A = 3\), \(B = 9\)

1. \(x + 2y = 3\) (уравнение 1)
2. \(y - 2x = 9\) (уравнение 2)

Решим систему:

Из уравнения 2 выразим \(y\):

\[ y = 9 + 2x \]

Подставим в 1-ое уравнение:

\[ x + 2(9 + 2x) = 3 \] \[ x + 18 + 4x = 3 \] \[ 5x + 18 = 3 \] \[ 5x = 3 - 18 \] \[ 5x = -15 \implies x = -3 \]

Теперь найдем \(y\):

\[ y = 9 + 2(-3) = 9 - 6 = 3 \]

Ответ

Таким образом, у нас есть два решения для системы уравнений:

1. \(\left( \frac{3}{5}, \frac{21}{5} \right)\)
2. \((-3, 3)\)