Для нахождения уравнения касательной к графику функции ( f(x) = -2 \sin x ) в точке ( x_0 = \pi ), необходимо выполнить следующие шаги:
Шаг 1: Найти значение функции в точке ( x_0 )
Подставим ( x_0 = \pi ) в функцию:
[
f(\pi) = -2 \sin(\pi) = -2 \cdot 0 = 0
]
Таким образом, точка на графике функции, в которой мы будем находить касательную, имеет координаты ( (\pi, 0) ).
Шаг 2: Найти производную функции
На следующем шаге найдем производную функции ( f(x) ), так как производная в данной точке будет равна угловому коэффициенту касательной.
[
f'(x) = \frac{d}{dx}(-2 \sin x) = -2 \cos x
]
Шаг 3: Найти значение производной в точке ( x_0 )
Теперь подставим ( x_0 = \pi ) в производную:
[
f'(\pi) = -2 \cos(\pi) = -2 \cdot (-1) = 2
]
Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке ( (\pi, 0) ) равен ( 2 ).
Шаг 4: Записать уравнение касательной
Уравнение касательной можно записать в точечной форме:
[
y - y_0 = m(x - x_0)
]
где:
- ( (x_0, y_0) ) — точка касания ( (\pi, 0) )
- ( m ) — угловой коэффициент касательной
Подставляем известные значения:
[
y - 0 = 2(x - \pi)
]
Упрощаем уравнение:
[
y = 2(x - \pi)
]
Раскрывая скобки:
[
y = 2x - 2\pi
]
Ответ
Уравнение касательной к графику функции ( f(x) = -2 \sin x ) в точке ( x_0 = \pi ) имеет вид:
[
y = 2x - 2\pi
]
