Напишите уравнение касательной к графику функции f (x) = - 2 • sin x в точке хо = п.
Для нахождения уравнения касательной к графику функции \( f(x) = -2 \sin x \) в точке \( x_0 = \pi \), необходимо выполнить следующие шаги:
Шаг 1: Найти значение функции в точке \( x_0 \)
Подставим \( x_0 = \pi \) в функцию:
\[ f(\pi) = -2 \sin(\pi) = -2 \cdot 0 = 0 \]
Таким образом, точка на графике функции, в которой мы будем находить касательную, имеет координаты \( (\pi, 0) \).
Шаг 2: Найти производную функции
На следующем шаге найдем производную функции \( f(x) \), так как производная в данной точке будет равна угловому коэффициенту касательной.
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-2 \sin x) = -2 \cos x \]
Шаг 3: Найти значение производной в точке \( x_0 \)
Теперь подставим \( x_0 = \pi \) в производную:
\[ f'(\pi) = -2 \cos(\pi) = -2 \cdot (-1) = 2 \]
Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке \( (\pi, 0) \) равен \( 2 \).
Шаг 4: Записать уравнение касательной
Уравнение касательной можно записать в точечной форме:
\[ y - y_0 = m(x - x_0) \]
где:
- \( (x_0, y_0) \) — точка касания \( (\pi, 0) \)
- \( m \) — угловой коэффициент касательной
Подставляем известные значения:
\[ y - 0 = 2(x - \pi) \]
Упрощаем уравнение:
\[ y = 2(x - \pi) \]
Раскрывая скобки:
\[ y = 2x - 2\pi \]
Ответ
Уравнение касательной к графику функции \( f(x) = -2 \sin x \) в точке \( x_0 = \pi \) имеет вид:
\[ y = 2x - 2\pi \]
