У филателиста 10 различных марок. Сколькими способами он может наклеить 3 марки на 6 пронумерованных мест?
Чтобы решить задачу о том, сколькими способами филателист может наклеить 3 марки на 6 пронумерованных мест, мы будем следовать следующему плану.
Шаг 1: Определение вариантов размещения марок
Выбор мест для марок: Поскольку марки наклеиваются на разные, пронумерованные места, мы сначала выберем, на какие 3 из 6 мест будут наклеены марки. Это можно сделать с помощью комбинаций.
Формула для выбора k элементов из n: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] В нашем случае, \( n = 6 \) (количество мест) и \( k = 3 \) (количество марок).
Подставляем в формулу: \[ C(6, 3) = \frac{6!}{3! \times (6 - 3)!} = \frac{6!}{3! \times 3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \]
Итак, существует 20 способов выбрать 3 места из 6.
Шаг 2: Размещение марок в выбранные места
Расположение марок на выбранных местах: После того как мы выбрали 3 места, нам нужно разместить 3 различные марки на этих 3 местах. Поскольку марки различны, количество способов их размещения будет равно факториалу количества выбираемых марок.
Факториал трех элементов (3!) равен: \[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \]
Шаг 3: Общий подсчет способов
- Общий подсчет способов: Теперь нам нужно умножить количество способов выбрать места на количество способов разместить марки на этих местах: \[ \text{Общее количество способов} = C(6, 3) \times 3! = 20 \times 6 = 120 \]
Ответ
Филателист может наклеить 3 марки на 6 пронумерованных мест 120 способами.
