Окружность с радиусом 3, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD, касается её боковой стороны AB в точке Е. Найдите площадь трапеции, если известно, что BE = 2, а BC – меньшее основание трапеции.

Чтобы найти площадь равнобедренной трапеции ABCD, в которую вписана окружность радиусом 3 и которая касается боковой стороны AB в точке E, будем следовать пошагово. ### Дано: - Радиус окружности \( r = 3 \) - \( BE = 2 \) - \( BC \) — меньшее основание трапеции, обозначим его как \( a \) (то есть \( a = BC \)) - \( AB \) — большее основание трапеции, обозначим его как \( c \) (то есть \( c = AB \)) ### Свойства трапеции: 1. Площадь трапеции рассчитывается по формуле: \[ S = \frac{(a + c)}{2} \cdot h \] где \( h \) — высота трапеции. 2. Для трапеции, вписывающей окружность, верно следующее соотношение: \[ r = \frac{S}{P} \] где \( P \) — полупериметр трапеции. Полупериметр \( P \) составляет: \[ P = \frac{a + c + AB + CD}{2} \] Так как у нас равнобедренная трапеция и если обозначим боковые стороны как \( b \), то: \[ P = \frac{a + c + 2b}{2} \] ### Находим высоту: Уголок \( BE = 2 \) и радиус окружности касания из точки E перпендикулярен стороне AB. Из треугольника \( BE \) мы можем найти высоту \( h \), так как касательные по свойству треугольника равны. Так как \( E \) — точка касания касательной, по свойству окружности имеем, что задача может быть отображена как: \[ DE + BE = h \quad (где DE — отрезок высоты от точки D до AB) \] ### Находим основание: Так как \( BE = 2 \), и, учитывая симметрию, предполагаем, что расстояние от E до A равно \( h - r \). Поэтому: \[ AE = h - r = h - 3 \] Теперь, для боковой стороны BC: \[ BC = BE + AE = 2 + (h - 3) = h - 1 \] Таким образом, у нас есть: - \( a = h - 1 \) Теперь, учитывая, что высота равнобедренной трапеции находится через высоту радиуса, можем утверждать: Количество высоты трапеции будем ориентироваться на: \[ h = r + BE = 3 + 2 = 5 \] ### Подставляем в формулу площади: Теперь подставим значения в формулу площади. 1. Мы нашли, что \( a = h - 1 = 5 - 1 = 4 \) 2. Находим более широкую сторону. \[ c = a + 2r = 4 + 6 = 10 \quad (где 6 — удвоенное основание, так как радиус) \] ### Считаем площадь: Теперь: - \( a = 4 \) - \( c = 10 \) - \( h = 5 \) Подставляем в формулу: \[ S = \frac{(a + c)}{2} \cdot h = \frac{(4 + 10)}{2} \cdot 5 = \frac{14}{2} \cdot 5 = 7 \cdot 5 = 35 \] ### Ответ: Площадь трапеции ABCD равна \( 35 \) квадратных единиц.