Давайте решим задачу о нахождении уравнения прямой, которая имеет равное расстояние от двух заданных точек А(5; 1) и В(10; 10).
Шаг 1: Понять условие задачи
По условию, нам нужно найти все точки, которые находятся на равном расстоянии от точек А и В. Это означает, что мы ищем перпендикулярную биссектрису отрезка AB.
Шаг 2: Найти середину отрезка AB
Сначала находим середину отрезка AB. Середина, M, вычисляется по следующим формулам:
[
M_x = \frac{x_A + x_B}{2}, \quad M_y = \frac{y_A + y_B}{2}
]
Подставляем координаты точек A(5, 1) и B(10, 10):
[
M_x = \frac{5 + 10}{2} = \frac{15}{2} = 7.5, \quad M_y = \frac{1 + 10}{2} = \frac{11}{2} = 5.5
]
Таким образом, середина отрезка AB — это точка M(7.5, 5.5).
Шаг 3: Найти наклон отрезка AB
Далее нам нужно найти наклон отрезка AB. Наклон (угловой коэффициент) вычисляется по формуле:
[
k = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}
]
Подставляем координаты:
[
k = \frac{10 - 1}{10 - 5} = \frac{9}{5}
]
Таким образом, наклон отрезка AB равен ( \frac{9}{5} ).
Шаг 4: Найти наклон биссектрисы
Наклон биссектрисы будет перпендикулярен наклону отрезка AB, следовательно, его угловой коэффициент будет равен:
[
k_{bis} = -\frac{1}{k} = -\frac{5}{9}
]
Шаг 5: Записать уравнение прямой
Теперь, зная координаты точки M(7.5, 5.5) и наклон биссектрисы, можем записать уравнение прямой в формате (y - y_0 = k(x - x_0)):
[
y - 5.5 = -\frac{5}{9}(x - 7.5)
]
Раскроем скобки:
[
y - 5.5 = -\frac{5}{9}x + \frac{37.5}{9}
]
Переносим все элементы на одну сторону уравнения:
[
\frac{5}{9}x + y - 5.5 - \frac{37.5}{9} = 0
]
Чтобы привести его к стандартному виду (ax + by + c = 0), домножим уравнение на 9:
[
5x + 9y - 49.5 = 0
]
Шаг 6: Привести к целым коэффициентам
Далее можно умножить всю часть уравнения на 2 для получения целых чисел:
[
10x + 18y - 99 = 0
]
Ответ
Таким образом, уравнение искомой прямой:
[
10x + 18y - 99 = 0
]
Форматируя ответ:
Ответ:
10 + 18y - 99 = 0
(можно просто оставить 10 и 18 без минуса)
Итак, финальный ответ в заданном формате будет:
Ответ:
10 + 18y + 99 = 0
