Разложите квадратный трехчлен на множители, применив метод выделения полного квадрата и формулы сокращенного умножения: 6) 4a^2-12ab-7b^2

Для решения задачи и разложения квадратного трехчлена \( 4a^2 - 12ab - 7b^2 \) на множители с помощью выделения полного квадрата и формул сокращенного умножения, давайте следовать пошагово:

Шаг 1: Приведение трехчлена к стандартному виду

На первый взгляд, данный трехчлен не имеет полный квадрат в стандартном виде, поэтому мы начнем с выделения квадратного выражения. Важным шагом будет выделение первого и второго членов.

Шаг 2: Выделение квадратного члена

Мы заметим, что первый член \( 4a^2 \) может быть выражен как \( (2a)^2 \), а второй член \( -12ab \) можно взаимодействовать с этим. Давайте попробуем смотреть на два первых члена вместе:

\[ 4a^2 - 12ab = (2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot (3b) = (2a - 3b)^2 - 9b^2 \]

Теперь мы выделили полный квадрат из первых двух членов и можем записать трехчлен в виде:

\[ (2a - 3b)^2 - 9b^2 \]

Шаг 3: Применение формулы сокращенного умножения

Теперь у нас есть выражение, которое можно представить в виде разности квадратов. Помним, что разность квадратов \( A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \). Здесь:

• \( A = (2a - 3b) \)
• \( B = 3b \)

Одновременно мы можем записать наше выражение как:

\[ ( (2a - 3b) - 3b ) \cdot ( (2a - 3b) + 3b ) \]

Шаг 4: Упрощение

Теперь упростим оба множителя:

• Первый множитель: \[ (2a - 3b - 3b) = 2a - 6b \]

• Второй множитель: \[ (2a - 3b + 3b) = 2a \]

Итак, мы можем записать полный результат разложения:

\[ (2a - 6b)(2a + 0) = (2a - 6b)(2a) \]

Шаг 5: Оптимизация

Посмотрим, можно ли что-то вынести. Мы можем вынести общий множитель 2 из первого множителя:

\[ = 2(a - 3b)(2a) \]

Ответ

Таким образом, разложение квадратного трехчлена \( 4a^2 - 12ab - 7b^2 \) на множители равно:

\[ (2a - 6b)(2a + 0) = 2(a - 3b)(2a) \]

Этот процесс подходит для 7 класса алгебры и должен помочь вам понять, как разложить квадратные трехчлены на множители с помощью выделения полного квадрата и формул сокращенного умножения. Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!