Артём составляет пятибуквенные слова из букв своего имени. Он ввёл два правила: не повторять буквы в одном слове и не ставить гласные первыми и последними одновременно. Сколько…

Для того чтобы решить задачу, начнем с анализа букв в имени Артём. Имя состоит из следующих букв: А, Р, Т, Ё, М.

Шаг 1: Определяем буквы.
В имени Артём 5 букв, из которых 3 гласные (А, Ё) и 2 согласные (Р, Т, М).

Шаг 2: Определяем правила.

1. Буквы не должны повторяться.
2. Гласные не могут стоять первыми и последними одновременно.

Шаг 3: Общий подсчет слов без условий.
Если бы не было никаких условий, то число пятибуквенных слов, состоящих из 5 различных букв (без повторений) можно рассчитать как факториал числа 5: \[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \] Таким образом, всего 120 слов.

Шаг 4: Условия о гласных.
Теперь учтем второе условие. Давайте рассмотрим два случая: когда гласные стоят только на одной из крайних позиций (первая или последняя).

1. Случай 1: Гласная стоит на первой позиции.
   Если первая буква — гласная (возможности: А или Ё), то на первой позиции можно поставить 2 гласные. После этого остаются 4 буквы, и их нужно расположить на остальных 4 позициях:

   • Первая буква (гласная) — 2 варианта (А или Ё).
   • Остальные 4 позиции можно заполнить оставшимися 4 буквами (2 согласные и 2 гласные), которые могут быть расположены в любом порядке: \[ 4! = 24 \] Таким образом, общее количество слов для этого случая: \[ 2 \times 4! = 2 \times 24 = 48 \]

2. Случай 2: Гласная стоит на последней позиции.
   Аналогично, если последняя буква — гласная (опять же А или Ё), то общее количество слов также будет: \[ 2 \times 4! = 48 \]

3. Случай 3: Гласная стоит и первой, и последней позиции.
   В этом случае мы можем поставить первую букву А или Ё, а последнюю тоже А или Ё. Так как нужно, чтобы они совпадали:

   • Возможные слова: только «А _ _ _ А» и «Ё _ _ _ Ё», но тогда остается только 3 буквы, и их можно расположить в 3! способами: \[ 3! = 6 \] Всего таких случаев (А на первой и А на последней) или (Ё на первой и Ё на последней): \[ 2 \cdot 3! = 2 \cdot 6 = 12 \]

Шаг 5: Подсчитаем итоговое количество.
Общее количество возможных слов, соответствующих условиям: \[ 48 + 48 - 12 = 84 \]

Таким образом, Артём может составить 84 различных пятибуквенных слова из букв своего имени, следуя заданным правилам.