В квадрате АBCD сторона равна 6. Диагонали пересе каются в точке О. Найдите скалярное произведение век торов overline DC и overline OA
Для решения задачи давайте начнем с, структуры квадратов и векторов.
Определение точек квадрата: Пусть квадрат \(ABCD\) расположен на координатной плоскости следующим образом:
- \(A(0, 0)\)
- \(B(6, 0)\)
- \(C(6, 6)\)
- \(D(0, 6)\)
Поиск координат точки О: Диагонали квадрата пересекаются в точке \(O\). Так как \(O\) — центр квадрата, его координаты можно найти как среднее арифметическое координат противоположных вершин.
В нашем случае это будет: \[ O\left(\frac{0 + 6}{2}, \frac{0 + 6}{2}\right) = O(3, 3) \]
Определение векторов: Теперь находим векторы \(\overline{DC}\) и \(\overline{OA}\):
- Вектор \(\overline{DC}\): \[ \overline{DC} = C - D = (6, 6) - (0, 6) = (6 - 0, 6 - 6) = (6, 0) \]
- Вектор \(\overline{OA}\): \[ \overline{OA} = A - O = (0, 0) - (3, 3) = (0 - 3, 0 - 3) = (-3, -3) \]
Скалярное произведение: Скалярное произведение векторов \(\overline{DC}\) и \(\overline{OA}\) вычисляется по формуле: \[ \overline{DC} \cdot \overline{OA} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 \] где \((x_1, y_1) = (6, 0)\) — координаты вектора \(\overline{DC}\), а \((x_2, y_2) = (-3, -3)\) — координаты вектора \(\overline{OA}\).
Подставим эти значения в формулу: \[ \overline{DC} \cdot \overline{OA} = (6) \cdot (-3) + (0) \cdot (-3) = -18 + 0 = -18 \]
Ответ: Скалярное произведение векторов \(\overline{DC}\) и \(\overline{OA}\) равно \(-18\).
Таким образом, мы прошли по всем шагам и получили искомое значение скалярного произведения. Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!
