Проведено 700 испытаний бернулли. 0,7 составила вероятность успешного испытания(для каждого случая). Очени вероятность того что в проведённых испытаниях разница между числом…

Для решения данной задачи мы будем использовать неравенство Чебышева, которое позволяет оценить вероятность отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Шаг 1: Определим параметры задачи

Из условия мы знаем, что:

• Количество испытаний \( n = 700 \)
• Вероятность успеха в каждом испытании \( p = 0.7 \)

Теперь давайте найдем среднее число успехов и дисперсию.

Шаг 2: Найдем среднее число успехов

Среднее число успехов \( \mu \) в 700 испытаниях можно вычислить по формуле: \[ \mu = n \cdot p \] Подставим значения: \[ \mu = 700 \cdot 0.7 = 490 \]

Шаг 3: Найдем дисперсию

Дисперсия \( \sigma^2 \) для распределения Бернулли рассчитывается по формуле: \[ \sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p) \] Теперь, подставляя наши значения: \[ \sigma^2 = 700 \cdot 0.7 \cdot (1 - 0.7) = 700 \cdot 0.7 \cdot 0.3 = 147 \]

Шаг 4: Находим стандартное отклонение

Стандартное отклонение \( \sigma \) — это квадратный корень из дисперсии: \[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{147} \approx 12.124 \]

Шаг 5: Применяем неравенство Чебышева

Неравенство Чебышева гласит, что для случайной величины \( X \) с математическим ожиданием \( \mu \) и дисперсией \( \sigma^2 \): \[ P\left(|X - \mu| \geq k\sigma\right) \leq \frac{1}{k^2} \]

Мы хотим найти вероятность того, что разница между числом успехов и средним числом успехов составляет менее 60: \[ P(|X - 490| < 60) \]

Это можно переформулировать: \[ P(|X - 490| \geq 60) \leq P(|X - 490| < 60) \]

Шаг 6: Определяем \( k \)

Здесь \( k \) будет равно: \[ k = \frac{60}{\sigma} \approx \frac{60}{12.124} \approx 4.946 \]

Шаг 7: Применяем неравенство Чебышева

Теперь мы можем подставить наше значение \( k \) в неравенство: \[ P(|X - 490| \geq 60) \leq \frac{1}{k^2} = \frac{1}{(4.946)^2} \approx 0.041 \]

Шаг 8: Вычисляем вероятность, что разница меньше 60

Теперь мы можем сказать, что: \[ P(|X - 490| < 60) \geq 1 - P(|X - 490| \geq 60) \geq 1 - 0.041 \approx 0.959 \]

Заключение

Следовательно, вероятность того, что в проведённых 700 испытаниях разница между числом успехов (\( X \)) и средним числом успехов составляет менее 60, примерно равна 0.959 или 95.9%.