Для решения данной задачи мы будем использовать неравенство Чебышева, которое позволяет оценить вероятность отклонения случайной величины от её математического ожидания.
Шаг 1: Определим параметры задачи
Из условия мы знаем, что:
- Количество испытаний ( n = 700 )
- Вероятность успеха в каждом испытании ( p = 0.7 )
Теперь давайте найдем среднее число успехов и дисперсию.
Шаг 2: Найдем среднее число успехов
Среднее число успехов ( \mu ) в 700 испытаниях можно вычислить по формуле:
[
\mu = n \cdot p
]
Подставим значения:
[
\mu = 700 \cdot 0.7 = 490
]
Шаг 3: Найдем дисперсию
Дисперсия ( \sigma^2 ) для распределения Бернулли рассчитывается по формуле:
[
\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p)
]
Теперь, подставляя наши значения:
[
\sigma^2 = 700 \cdot 0.7 \cdot (1 - 0.7) = 700 \cdot 0.7 \cdot 0.3 = 147
]
Шаг 4: Находим стандартное отклонение
Стандартное отклонение ( \sigma ) — это квадратный корень из дисперсии:
[
\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{147} \approx 12.124
]
Шаг 5: Применяем неравенство Чебышева
Неравенство Чебышева гласит, что для случайной величины ( X ) с математическим ожиданием ( \mu ) и дисперсией ( \sigma^2 ):
[
P\left(|X - \mu| \geq k\sigma\right) \leq \frac{1}{k^2}
]
Мы хотим найти вероятность того, что разница между числом успехов и средним числом успехов составляет менее 60:
[
P(|X - 490| < 60)
]
Это можно переформулировать:
[
P(|X - 490| \geq 60) \leq P(|X - 490| < 60)
]
Шаг 6: Определяем ( k )
Здесь ( k ) будет равно:
[
k = \frac{60}{\sigma} \approx \frac{60}{12.124} \approx 4.946
]
Шаг 7: Применяем неравенство Чебышева
Теперь мы можем подставить наше значение ( k ) в неравенство:
[
P(|X - 490| \geq 60) \leq \frac{1}{k^2} = \frac{1}{(4.946)^2} \approx 0.041
]
Шаг 8: Вычисляем вероятность, что разница меньше 60
Теперь мы можем сказать, что:
[
P(|X - 490| < 60) \geq 1 - P(|X - 490| \geq 60) \geq 1 - 0.041 \approx 0.959
]
Заключение
Следовательно, вероятность того, что в проведённых 700 испытаниях разница между числом успехов (( X )) и средним числом успехов составляет менее 60, примерно равна 0.959 или 95.9%.
