Реши задачу на картинке
На изображении представлено неравенство:
\[ t \cdot (t + 1) > \frac{1}{4} \]
Решим это неравенство пошагово.
Преобразование выражения:
Преобразуем неравенство, чтобы избавиться от дроби. Для этого приведем всё к общему знаменателю.
\[ 4t(t + 1) > 1 \]
Раскроем скобки:
\[ 4t^2 + 4t > 1 \]
Перенос всех членов в одну часть:
Перенесем «1» в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:
\[ 4t^2 + 4t - 1 > 0 \]
Решение квадратного уравнения:
Для решения квадратного неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения:
\[ 4t^2 + 4t - 1 = 0 \]
Используем формулу корней квадратного уравнения:
\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Где \(a = 4\), \(b = 4\), \(c = -1\). Подставляем значения:
Дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 16 + 16 = 32 \]
Теперь находим корни:
\[ t = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{8} \]
\[ t = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{8} \]
Упростим:
\[ t = \frac{-4 + 4\sqrt{2}}{8} \quad \text{и} \quad t = \frac{-4 - 4\sqrt{2}}{8} \]
\[ t = \frac{-1 + \sqrt{2}}{2} \quad \text{и} \quad t = \frac{-1 - \sqrt{2}}{2} \]
Рассмотрение знаков произведения:
Найденные корни \(\frac{-1 + \sqrt{2}}{2}\) и \(\frac{-1 - \sqrt{2}}{2}\) делят числовую прямую на интервалы. Проверим знаки на этих интервалах.
Интервалы:
- \((-\infty, \frac{-1 - \sqrt{2}}{2})\)
- \((\frac{-1 - \sqrt{2}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{2}}{2})\)
- \((\frac{-1 + \sqrt{2}}{2}, +\infty)\)
Проверяем знак выражения \(4t^2 + 4t - 1\) на каждом из интервалов:
- На первом интервале: \(t = -2\), подставляем в \(4t^2 + 4t - 1 > 0\)
- На втором интервале: \(t = 0\)
- На третьем интервале: \(t = 1\)
После подстановки определяем знаки и видим, что неравенство выполняется для:
\[ t \in \left(-\infty, \frac{-1 - \sqrt{2}}{2}\right) \cup \left(\frac{-1 + \sqrt{2}}{2}, +\infty\right) \]
Таким образом, решение неравенства — это объединение двух интервалов: \(t \in \left(-\infty, \frac{-1 - \sqrt{2}}{2}\right) \cup \left(\frac{-1 + \sqrt{2}}{2}, +\infty\right)\).
