Реши задачу на картинке

На изображении представлено неравенство: \[ t \cdot (t + 1) > \frac{1}{4} \] Решим это неравенство пошагово. 1. **Преобразование выражения:** Преобразуем неравенство, чтобы избавиться от дроби. Для этого приведем всё к общему знаменателю. \[ 4t(t + 1) > 1 \] Раскроем скобки: \[ 4t^2 + 4t > 1 \] 2. **Перенос всех членов в одну часть:** Перенесем «1» в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство: \[ 4t^2 + 4t - 1 > 0 \] 3. **Решение квадратного уравнения:** Для решения квадратного неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения: \[ 4t^2 + 4t - 1 = 0 \] Используем формулу корней квадратного уравнения: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где \(a = 4\), \(b = 4\), \(c = -1\). Подставляем значения: Дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 16 + 16 = 32 \] Теперь находим корни: \[ t = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{8} \] \[ t = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{8} \] Упростим: \[ t = \frac{-4 + 4\sqrt{2}}{8} \quad \text{и} \quad t = \frac{-4 - 4\sqrt{2}}{8} \] \[ t = \frac{-1 + \sqrt{2}}{2} \quad \text{и} \quad t = \frac{-1 - \sqrt{2}}{2} \] 4. **Рассмотрение знаков произведения:** Найденные корни \(\frac{-1 + \sqrt{2}}{2}\) и \(\frac{-1 - \sqrt{2}}{2}\) делят числовую прямую на интервалы. Проверим знаки на этих интервалах. Интервалы: - \((-\infty, \frac{-1 - \sqrt{2}}{2})\) - \((\frac{-1 - \sqrt{2}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{2}}{2})\) - \((\frac{-1 + \sqrt{2}}{2}, +\infty)\) Проверяем знак выражения \(4t^2 + 4t - 1\) на каждом из интервалов: - На первом интервале: \(t = -2\), подставляем в \(4t^2 + 4t - 1 > 0\) - На втором интервале: \(t = 0\) - На третьем интервале: \(t = 1\) После подстановки определяем знаки и видим, что неравенство выполняется для: \[ t \in \left(-\infty, \frac{-1 - \sqrt{2}}{2}\right) \cup \left(\frac{-1 + \sqrt{2}}{2}, +\infty\right) \] Таким образом, решение неравенства — это объединение двух интервалов: \(t \in \left(-\infty, \frac{-1 - \sqrt{2}}{2}\right) \cup \left(\frac{-1 + \sqrt{2}}{2}, +\infty\right)\).