Определите количество шестизначных семеричных чисел, в записи которых ровно одна цифра 0, а количество остальных чётных цифр чётно.

Чтобы решить задачу, нам нужно определить количество шестизначных семеричных чисел (чисел, состоящих из цифр от 0 до 6), в которых ровно одна цифра 0, а количество остальных четных цифр (это 0, 2, 4, 6) четно.

Шаг 1: Определение четных и нечетных цифр

В семеричной системе доступны следующие цифры:

• Четные цифры: 0, 2, 4, 6
• Нечетные цифры: 1, 3, 5

Так как 0 должно встречаться ровно один раз, остальные цифры могут быть 2, 4, 6 (четные) или 1, 3, 5 (нечетные).

Шаг 2: Количество четных цифр

Пусть обозначим количество четных цифр в числе прежде всего как \( k \). У нас есть:

• Всего 5 цифр (2, 4, 6, 1, 3, 5)
• Цифра 0 уже выбрана, так что при дальнейших выборах мы должны удостовериться, что общее количество четных (2, 4, 6) среди остальных цифр чисел (которые не равны 0) будет четным.

Шаг 3: Расположение нуля

Рассмотрим, сколько возможных мест у нас есть для расположения 0. 0 может занимать любую из 6 позиций, но так как число не может начинаться с 0, у нас есть только 5 возможных позиций для 0 (с 2-й по 6-ю).

Шаг 4: Определение количества мест для четных и нечетных цифр

Пусть:

• Остальные 5 цифр (в пределах 6-значного числа) нужно заполнять не менее 1 четной (т.е. 2-й, 4-й, 6-й).
• Количество оставшихся четных цифр должно быть четным. Возможны варианты:
  • 0 четных
  • 2 четных
  • 4 четных

Подосчет для каждого случая

1. 0 четных: Это невозможно, так как у нас должно быть 1 четная цифра.

2. 2 четных:

   • Выбираем 2 места из 5 для расположения четных цифр. Это можно сделать \( \binom{5}{2} = 10 \) способами.
   • Оставшиеся 3 места заполняем нечетными цифрами (1, 3, 5). Каждую можете заполнить 3 способами.
   • Количество способов получения комбинаций: \( 3^3 = 27 \).
   • Каждую четную цифру выбираем из (2, 4, 6), соответственно: \( 3^2 = 9 \).
   • Итого: \( 10 \times 9 \times 27 = 2430 \).

3. 4 четных:

   • Выбираем 4 места из 5 для четных цифр. Это можно сделать \( \binom{5}{4} = 5 \) способами.
   • Оставшееся одно место заполняем нечетной цифрой. Каждую можно заполнить 3 способами.
   • Количество способов получения комбинаций: \( 3^1 = 3 \).
   • Для 4 четных цифр из (2, 4, 6) остается: \( 3^4 = 81 \).
   • Итого: \( 5 \times 81 \times 3 = 1215 \).

Шаг 5: Общий подсчет

Теперь складываем оба варианта:

• 2 четных: 2430
• 4 четных: 1215

Таким образом, общее количество 6-значных семеричных чисел составляет: \[ 2430 + 1215 = 3645 \]

Итак, ответ 3645.