Определите количество шестизначных семеричных чисел, в записи которых ровно одна цифра 0, а количество остальных чётных цифр чётно.

Чтобы решить задачу, нам нужно определить количество шестизначных семеричных чисел (чисел, состоящих из цифр от 0 до 6), в которых ровно одна цифра 0, а количество остальных четных цифр (это 0, 2, 4, 6) четно. ### Шаг 1: Определение четных и нечетных цифр В семеричной системе доступны следующие цифры: - Четные цифры: 0, 2, 4, 6 - Нечетные цифры: 1, 3, 5 Так как 0 должно встречаться ровно один раз, остальные цифры могут быть 2, 4, 6 (четные) или 1, 3, 5 (нечетные). ### Шаг 2: Количество четных цифр Пусть обозначим количество четных цифр в числе прежде всего как \( k \). У нас есть: - Всего 5 цифр (2, 4, 6, 1, 3, 5) - Цифра 0 уже выбрана, так что при дальнейших выборах мы должны удостовериться, что общее количество четных (2, 4, 6) среди остальных цифр чисел (которые не равны 0) будет четным. ### Шаг 3: Расположение нуля Рассмотрим, сколько возможных мест у нас есть для расположения 0. 0 может занимать любую из 6 позиций, но так как число не может начинаться с 0, у нас есть только 5 возможных позиций для 0 (с 2-й по 6-ю). ### Шаг 4: Определение количества мест для четных и нечетных цифр Пусть: - Остальные 5 цифр (в пределах 6-значного числа) нужно заполнять не менее 1 четной (т.е. 2-й, 4-й, 6-й). - Количество оставшихся четных цифр должно быть четным. Возможны варианты: - 0 четных - 2 четных - 4 четных #### Подосчет для каждого случая 1. **0 четных**: Это невозможно, так как у нас должно быть 1 четная цифра. 2. **2 четных**: - Выбираем 2 места из 5 для расположения четных цифр. Это можно сделать \( \binom{5}{2} = 10 \) способами. - Оставшиеся 3 места заполняем нечетными цифрами (1, 3, 5). Каждую можете заполнить 3 способами. - Количество способов получения комбинаций: \( 3^3 = 27 \). - Каждую четную цифру выбираем из (2, 4, 6), соответственно: \( 3^2 = 9 \). - Итого: \( 10 \times 9 \times 27 = 2430 \). 3. **4 четных**: - Выбираем 4 места из 5 для четных цифр. Это можно сделать \( \binom{5}{4} = 5 \) способами. - Оставшееся одно место заполняем нечетной цифрой. Каждую можно заполнить 3 способами. - Количество способов получения комбинаций: \( 3^1 = 3 \). - Для 4 четных цифр из (2, 4, 6) остается: \( 3^4 = 81 \). - Итого: \( 5 \times 81 \times 3 = 1215 \). ### Шаг 5: Общий подсчет Теперь складываем оба варианта: - 2 четных: 2430 - 4 четных: 1215 Таким образом, общее количество 6-значных семеричных чисел составляет: \[ 2430 + 1215 = 3645 \] Итак, ответ **3645**.