Игральный кубик бросают 5 раз. Найдите вероятность того, что 6 очков выпадет ровно 4 раза

Чтобы найти вероятность того, что при 5 бросках игрального кубика 6 очков выпадет ровно 4 раза, мы можем использовать формулу для биномиального распределения.

Шаг 1: Определение условий

1. У нас есть игральный кубик с 6 гранями, и мы рассматриваем события: выпадение 6 (успех) и не выпадение 6 (неуспех).
2. Вероятность успеха (выпадение 6) на одном броске равна \(p = \frac{1}{6}\).
3. Вероятность неуспеха (не выпадение 6) равна \(q = 1 - p = \frac{5}{6}\).
4. Мы будем бросать кубик 5 раз, то есть \(n = 5\).
5. Мы хотим, чтобы 6 очков выпало \(k = 4\) раза.

Шаг 2: Применение биномиальной формулы

Биномиальная формула для нахождения вероятности выпадения ровно \(k\) успехов из \(n\) испытаний выглядит следующим образом:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} \]

где:

• \(\binom{n}{k}\) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\),
• \(p\) — вероятность успеха,
• \(q\) — вероятность неуспеха.

Шаг 3: Подстановка значений

Теперь подставим наши значения в формулу:

1. Вычислим биномиальный коэффициент \(\binom{5}{4}\): \[ \binom{5}{4} = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5 \cdot 4!}{4! \cdot 1!} = 5 \]

2. Далее подставим вероятности:

   • \(p = \frac{1}{6}\), тогда \(p^4 = \left(\frac{1}{6}\right)^4\)
   • \(q = \frac{5}{6}\), тогда \(q^{n-k} = \left(\frac{5}{6}\right)^{5-4} = \left(\frac{5}{6}\right)^1\)

Теперь всё подставляем в формулу: \[ P(X = 4) = 5 \left(\frac{1}{6}\right)^4 \left(\frac{5}{6}\right)^1 \]

Шаг 4: Вычисление вероятностей

Выполним вычисления:

1. \(\left(\frac{1}{6}\right)^4 = \frac{1}{1296}\)
2. \(\left(\frac{5}{6}\right)^1 = \frac{5}{6}\)

Теперь можем подставить: \[ P(X = 4) = 5 \cdot \frac{1}{1296} \cdot \frac{5}{6} \]

Сначала перемножим: \[ = 5 \cdot \frac{5}{1296 \cdot 6} = \frac{25}{7776} \]

Ответ

Таким образом, вероятность того, что 6 очков выпадет ровно 4 раза при 5 бросках кубика, равна \(\frac{25}{7776}\) или примерно 0.003215.

Заключение

Вероятности в случайных экспериментах, таких как бросание кубика, требуют понимания основ теории вероятностей и формулировки задач. Обязательно проверьте свои расчеты и понимание шагов при решении, чтобы успешно применять их в будущем!