Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Найти гипотенузу треугольника.

Давайте решим задачу, связанную с прямоугольным треугольником, где один из углов равен 60°, а разность гипотенузы и меньшего катета составляет 15 см.

Шаг 1: Обозначим стороны треугольника

Обозначим:

• \( c \) — гипотенуза,
• \( a \) — меньший катет,
• \( b \) — больший катет.

По условию задачи, мы знаем, что: \[ c - a = 15 \quad (1) \]

Шаг 2: Используем тригонометрические соотношения

В прямоугольном треугольнике с углом в 60° мы можем использовать соотношения между сторонами:

• \(\sin(60^\circ) = \frac{a}{c}\) (где \( a \) - противолежащий катет),
• \(\cos(60^\circ) = \frac{b}{c}\) (где \( b \) - прилежащий катет).

Значения синуса и косинуса угла 60° следующие: \[ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \]

Шаг 3: Запишем уравнения для катетов

Из соотношения для синуса: \[ a = c \cdot \sin(60^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \quad (2) \]

Из соотношения для косинуса: \[ b = c \cdot \cos(60^\circ) = c \cdot \frac{1}{2} \quad (3) \]

Шаг 4: Подставим выражение для \( a \) в первое уравнение

Теперь мы можем выразить \( c \) через \( a \) из уравнения (1): \[ c = a + 15 \quad (4) \]

Теперь подставим \( a \) из уравнения (2) в уравнение (4): \[ c = \frac{\sqrt{3}}{2}c + 15 \]

Шаг 5: Решим уравнение для \( c \)

Давайте преобразуем уравнение: \[ c - \frac{\sqrt{3}}{2}c = 15 \] \[ c\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 15 \]

Теперь найдем \( 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \): \[ 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2} \]

Теперь можем записать: \[ c \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2} = 15 \] \[ c = \frac{15 \cdot 2}{2 - \sqrt{3}} = \frac{30}{2 - \sqrt{3}} \]

Шаг 6: Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение

Умножим числитель и знаменатель на \( 2 + \sqrt{3} \): \[ c = \frac{30(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{30(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = 30(2 + \sqrt{3}) \]

Шаг 7: Найдем результат

Таким образом, гипотенуза треугольника будет равна: \[ c = 30(2 + \sqrt{3}) \approx 30 \cdot (2 + 1.732) \approx 30 \cdot 3.732 \approx 111.96 \text{ см} \]

Ответ

Гипотенуза треугольника составляет примерно \( 111.96 \) см.