Две случайные величины X и Y распределены по геометрическому закону. Математическое ожидание случайной величины X равно 3, случайной величины Y — 8, а коэффициент корреляции равен…

Чтобы найти значение дисперсии \( D(X - Y) \) для двух случайных величин \( X \) и \( Y \), распределенных по геометрическому закону, нам нужно использовать следующие свойства дисперсии:

1. Дисперсия разности двух случайных величин: \[ D(X - Y) = D(X) + D(Y) - 2 \cdot \text{Cov}(X, Y) \] где \( \text{Cov}(X, Y) \) — ковариация случайных величин \( X \) и \( Y \).

2. Ковариация через корреляцию: \[ \text{Cov}(X, Y) = \rho \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y \] где \( \rho \) — коэффициент корреляции, \( \sigma_X \) и \( \sigma_Y \) — стандартные отклонения случайных величин \( X \) и \( Y \).

Шаг 1: Найдем дисперсии \( D(X) \) и \( D(Y) \)

Для геометрического распределения:

• Математическое ожидание \( E(X) = \frac{1}{p} \), где \( p \) — вероятность успеха.
• Дисперсия \( D(X) = \frac{1 - p}{p^2} \).

Для случайной величины \( X \) с \( E(X) = 3 \): \[ p_X = \frac{1}{3} \implies D(X) = \frac{1 - \frac{1}{3}}{(\frac{1}{3})^2} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{9}} = 6 \]

Для случайной величины \( Y \) с \( E(Y) = 8 \): \[ p_Y = \frac{1}{8} \implies D(Y) = \frac{1 - \frac{1}{8}}{(\frac{1}{8})^2} = \frac{\frac{7}{8}}{\frac{1}{64}} = 56 \]

Шаг 2: Найдем стандартные отклонения \( \sigma_X \) и \( \sigma_Y \)

Стандартные отклонения: \[ \sigma_X = \sqrt{D(X)} = \sqrt{6}, \quad \sigma_Y = \sqrt{D(Y)} = \sqrt{56} \]

Шаг 3: Найдем ковариацию \( \text{Cov}(X, Y) \)

Используем известный коэффициент корреляции \( \rho = 0.5 \): \[ \text{Cov}(X, Y) = \rho \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y = 0.5 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{56} \]

Теперь посчитаем: \[ \text{Cov}(X, Y) = 0.5 \cdot \sqrt{336} = 0.5 \cdot 4\sqrt{21} = 2\sqrt{21} \]

Шаг 4: Подставим все в формулу для дисперсии разности

Теперь подставляем все найденные значения обратно в формулу: \[ D(X - Y) = D(X) + D(Y) - 2 \cdot \text{Cov}(X, Y) \] \[ D(X - Y) = 6 + 56 - 2 \cdot (2\sqrt{21}) = 62 - 4\sqrt{21} \]

Ответ

Дисперсия разности случайных величин \( D(X - Y) \) равна: \[ D(X - Y) = 62 - 4\sqrt{21} \]

Таким образом, вы получили полное решение задачи с использованием свойств дисперсии и ковариации, основанное на условии стандартных геометрических распределений.