Чтобы найти значение дисперсии ( D(X - Y) ) для двух случайных величин ( X ) и ( Y ), распределенных по геометрическому закону, нам нужно использовать следующие свойства дисперсии:
Дисперсия разности двух случайных величин:
[
D(X - Y) = D(X) + D(Y) - 2 \cdot \text{Cov}(X, Y)
]
где ( \text{Cov}(X, Y) ) — ковариация случайных величин ( X ) и ( Y ).
Ковариация через корреляцию:
[
\text{Cov}(X, Y) = \rho \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y
]
где ( \rho ) — коэффициент корреляции, ( \sigma_X ) и ( \sigma_Y ) — стандартные отклонения случайных величин ( X ) и ( Y ).
Шаг 1: Найдем дисперсии ( D(X) ) и ( D(Y) )
Для геометрического распределения:
- Математическое ожидание ( E(X) = \frac{1}{p} ), где ( p ) — вероятность успеха.
- Дисперсия ( D(X) = \frac{1 - p}{p^2} ).
Для случайной величины ( X ) с ( E(X) = 3 ):
[
p_X = \frac{1}{3} \implies D(X) = \frac{1 - \frac{1}{3}}{(\frac{1}{3})^2} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{9}} = 6
]
Для случайной величины ( Y ) с ( E(Y) = 8 ):
[
p_Y = \frac{1}{8} \implies D(Y) = \frac{1 - \frac{1}{8}}{(\frac{1}{8})^2} = \frac{\frac{7}{8}}{\frac{1}{64}} = 56
]
Шаг 2: Найдем стандартные отклонения ( \sigma_X ) и ( \sigma_Y )
Стандартные отклонения:
[
\sigma_X = \sqrt{D(X)} = \sqrt{6}, \quad \sigma_Y = \sqrt{D(Y)} = \sqrt{56}
]
Шаг 3: Найдем ковариацию ( \text{Cov}(X, Y) )
Используем известный коэффициент корреляции ( \rho = 0.5 ):
[
\text{Cov}(X, Y) = \rho \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y = 0.5 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{56}
]
Теперь посчитаем:
[
\text{Cov}(X, Y) = 0.5 \cdot \sqrt{336} = 0.5 \cdot 4\sqrt{21} = 2\sqrt{21}
]
Шаг 4: Подставим все в формулу для дисперсии разности
Теперь подставляем все найденные значения обратно в формулу:
[
D(X - Y) = D(X) + D(Y) - 2 \cdot \text{Cov}(X, Y)
]
[
D(X - Y) = 6 + 56 - 2 \cdot (2\sqrt{21}) = 62 - 4\sqrt{21}
]
Ответ
Дисперсия разности случайных величин ( D(X - Y) ) равна:
[
D(X - Y) = 62 - 4\sqrt{21}
]
Таким образом, вы получили полное решение задачи с использованием свойств дисперсии и ковариации, основанное на условии стандартных геометрических распределений.
