Для нахождения суммы первых двадцати двух членов геометрической прогрессии, давайте сначала определим основные параметры этой прогрессии.
Шаг 1: Определение параметров прогрессии
Геометрическая прогрессия определяется первым членом и общим отношением. В данной прогрессии:
- Первый член (( a_1 )) = 5
- Второй член (( a_2 )) = -5
Чтобы найти общее отношение (( q )), используем формулу для второго члена геометрической прогрессии:
[
a_2 = a_1 \cdot q
]
Подставим значения:
[
-5 = 5 \cdot q
]
Решим уравнение:
[
q = \frac{-5}{5} = -1
]
Таким образом, общее отношение ( q ) равно -1.
Шаг 2: Формула для суммы геометрической прогрессии
Сумма первых ( n ) членов геометрической прогрессии рассчитывается по формуле:
[
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}, \quad \text{если } q \neq 1
]
Где:
- ( S_n ) – сумма первых ( n ) членов,
- ( a_1 ) – первый член,
- ( q ) – общее отношение,
- ( n ) – количество членов.
В нашем случае:
- ( a_1 = 5 )
- ( q = -1 )
- ( n = 22 )
Шаг 3: Подставим значения в формулу
Теперь подставим наши значения в формулу:
[
S_{22} = 5 \cdot \frac{1 - (-1)^{22}}{1 - (-1)}
]
Вычислим ( (-1)^{22} ):
[
(-1)^{22} = 1 \quad (\text{поскольку 22 чётное})
]
Теперь подставим это в формулу:
[
S_{22} = 5 \cdot \frac{1 - 1}{1 + 1} = 5 \cdot \frac{0}{2} = 0
]
Ответ
Сумма первых двадцати двух членов данной геометрической прогрессии равна 0.
Если у вас есть дополнительные вопросы или задачи, не стесняйтесь спрашивать!
