В библиотеке имеется 21 книга по истории, 34 книги по математике, 25 книг по юриспруденции. Вероятность того, что книга по истории занесена в электронный каталог, равна 0,33; по…
В библиотеке имеется 21 книга по истории, 34 книги по математике, 25 книг по юриспруденции. Вероятность того, что книга по истории занесена в электронный каталог, равна 0,33; по математике – 0,15; по юриспруденции – 0,61. Найдите вероятность того, что выбранная наудачу книга занесена в электронный каталог.
Чтобы найти вероятность того, что выбранная наудачу книга занесена в электронный каталог, нам нужно использовать закон полной вероятности. Давайте шаг за шагом разберем решение.
Шаг 1: Определение данных
У нас есть три типа книг:
- История: 21 книга, вероятность того, что книга занесена в каталог \( P(H) = 0,33 \).
- Математика: 34 книги, вероятность \( P(M) = 0,15 \).
- Юриспруденция: 25 книг, вероятность \( P(J) = 0,61 \).
Шаг 2: Находим общее количество книг
Сначала найдем общее количество книг:
\[ N = 21 + 34 + 25 = 80 \]
Шаг 3: Находим вероятность того, что книга занесена в каталог для каждой категории
Чтобы использовать закон полной вероятности, нам нужно знать вклад каждой категории в общую вероятность. Поскольку мы знаем, сколько книг в каждой категории, можем найти веса каждой категории:
Вероятность выбрать книгу по истории: \[ P(H) = \frac{21}{80} \]
Вероятность выбрать книгу по математике: \[ P(M) = \frac{34}{80} \]
Вероятность выбрать книгу по юриспруденции: \[ P(J) = \frac{25}{80} \]
Шаг 4: Применение формулы полной вероятности
Теперь можем найти общую вероятность того, что книга занесена в каталог \( P(C) \):
\[ P(C) = P(H) \cdot P(C|H) + P(M) \cdot P(C|M) + P(J) \cdot P(C|J) \]
где \( P(C|H) \), \( P(C|M) \), и \( P(C|J) \) — это вероятности того, что книга из соответствующей категории занесена в каталог.
Подставляем значения:
\[ P(C) = \left(\frac{21}{80} \cdot 0,33\right) + \left(\frac{34}{80} \cdot 0,15\right) + \left(\frac{25}{80} \cdot 0,61\right) \]
Шаг 5: Вычисляем каждую часть
Для истории: \[ P(H) \cdot P(C|H) = \frac{21}{80} \cdot 0,33 \approx 0,087375 \]
Для математики: \[ P(M) \cdot P(C|M) = \frac{34}{80} \cdot 0,15 \approx 0,06375 \]
Для юриспруденции: \[ P(J) \cdot P(C|J) = \frac{25}{80} \cdot 0,61 \approx 0,19125 \]
Шаг 6: Суммируем все части
Теперь складываем все полученные значения:
\[ P(C) \approx 0,087375 + 0,06375 + 0,19125 \approx 0,342375 \]
Шаг 7: Ответ
Таким образом, вероятность того, что выбранная наудачу книга занесена в электронный каталог, составляет приблизительно \( 0,3424 \) или \( 34,24\% \).
