22. Построй график функци  � = y=  { � 2 − 2 � − 1 , � ⩾ 0 � + 1 , � < 0 { x 2 −2x−1,x⩾0 x+1,x<0 ​  Определи, при каких значениях  � m прямая  � = � y=m имеет с графиком ровно две общие точки. В ответ запиши полученное число и числовой промежуток без пробелов. Например: 6(-1;10)

Чтобы решить задачу по построению графика функции и нахождению значений \( m \), для которых прямая \( y = m \) имеет ровно две общие точки с графиком функции, давайте рассмотрим каждую часть функции: Дана функция: \[ y = \begin{cases} x^2 - 2x - 1 & , x \geq 0 \\ x + 1 & , x < 0 \end{cases} \] ### Шаг 1: Построим график функции 1. **График для \( x \geq 0 \)**: У нас есть квадратное уравнение \( y = x^2 - 2x - 1 \). Чтобы построить график: - Найдем вершину параболы. Вершина квадратичной функции \( ax^2 + bx + c \) находится по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \): - Здесь \( a = 1 \), \( b = -2 \), следовательно: \[ x = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1 \] - Подставим \( x = 1 \) в уравнение для нахождения координаты вершины: \[ y = 1^2 - 2 \cdot 1 - 1 = 1 - 2 - 1 = -2 \] - Вершина параболы \( (1, -2) \). Область определения для этой части: \( x \geq 0 \). - Учитывая, что парабола направлена вверх (положительный коэффициент при \( x^2 \)), она будет стремиться к бесконечности. 2. **График для \( x < 0 \)**: Линейная часть функции \( y = x + 1 \). Эта прямая имеет наклон 1 и проходит через точку \( (0, 1) \). - Данная прямая опускается вниз и пересекает ось \( y \) в точке \( (0, 1) \) и будет продолжаться влево. ### Шаг 2: Найдем, в каком месте прямая \( y = m \) будет иметь ровно две пересечения Теперь мы проанализируем, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) будет пересекаться с графиком функции: 1. **Для части \( x \geq 0 \) (парабола)**: - У нас есть уравнение \( x^2 - 2x - (m + 1) = 0 \). - Для того чтобы было ровно два решения, необходимо, чтобы дискриминант был положительным: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m - 1) > 0 \] \[ 4 + 4m + 4 > 0 \Rightarrow 4m + 8 > 0 \Rightarrow m > -2 \] 2. **Для части \( x < 0 \) (прямая)**: - У нас есть уравнение \( x + 1 = m \Rightarrow x = m - 1 \). - Эта прямая будет пересекаться с графиком функции только в случае, если \( m - 1 < 0 \Rightarrow m < 1 \). ### Шаг 3: Объединяем условия Таким образом, мы имеем: 1. \( m > -2 \) (из параболы) 2. \( m < 1 \) (из линейной части) Итак, объединяя эти два условия, мы получаем: \[ -2 < m < 1 \] ### Ответ: Числовой промежуток: \( (-2; 1) \) Итак, ответ будет: \[ (-2;1) \]