22. Построй график функци � = y= { � 2 − 2 � − 1 , � ⩾ 0 � + 1 , � < 0 { x 2 −2x−1,x⩾0 x+1,x<0 ​ Определи, при каких значениях � m прямая � = � y=m имеет с графиком ровно две…

Чтобы решить задачу по построению графика функции и нахождению значений \( m \), для которых прямая \( y = m \) имеет ровно две общие точки с графиком функции, давайте рассмотрим каждую часть функции:

Дана функция: \[ y = \begin{cases} x^2 - 2x - 1 & , x \geq 0 \\ x + 1 & , x < 0 \end{cases} \]

Шаг 1: Построим график функции

1. График для \( x \geq 0 \): У нас есть квадратное уравнение \( y = x^2 - 2x - 1 \). Чтобы построить график:

   • Найдем вершину параболы. Вершина квадратичной функции \( ax^2 + bx + c \) находится по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \):
     • Здесь \( a = 1 \), \( b = -2 \), следовательно: \[ x = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1 \]
   • Подставим \( x = 1 \) в уравнение для нахождения координаты вершины: \[ y = 1^2 - 2 \cdot 1 - 1 = 1 - 2 - 1 = -2 \]
   • Вершина параболы \( (1, -2) \). Область определения для этой части: \( x \geq 0 \).
   • Учитывая, что парабола направлена вверх (положительный коэффициент при \( x^2 \)), она будет стремиться к бесконечности.

2. График для \( x < 0 \): Линейная часть функции \( y = x + 1 \). Эта прямая имеет наклон 1 и проходит через точку \( (0, 1) \).

   • Данная прямая опускается вниз и пересекает ось \( y \) в точке \( (0, 1) \) и будет продолжаться влево.

Шаг 2: Найдем, в каком месте прямая \( y = m \) будет иметь ровно две пересечения

Теперь мы проанализируем, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) будет пересекаться с графиком функции:

1. Для части \( x \geq 0 \) (парабола):

   • У нас есть уравнение \( x^2 - 2x - (m + 1) = 0 \).
   • Для того чтобы было ровно два решения, необходимо, чтобы дискриминант был положительным: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m - 1) > 0 \] \[ 4 + 4m + 4 > 0 \Rightarrow 4m + 8 > 0 \Rightarrow m > -2 \]

2. Для части \( x < 0 \) (прямая):

   • У нас есть уравнение \( x + 1 = m \Rightarrow x = m - 1 \).
   • Эта прямая будет пересекаться с графиком функции только в случае, если \( m - 1 < 0 \Rightarrow m < 1 \).

Шаг 3: Объединяем условия

Таким образом, мы имеем:

1. \( m > -2 \) (из параболы)
2. \( m < 1 \) (из линейной части)

Итак, объединяя эти два условия, мы получаем: \[ -2 < m < 1 \]

Ответ:

Числовой промежуток: \( (-2; 1) \)

Итак, ответ будет: \[ (-2;1) \]