.
Давайте решим задачу по вероятности.
Условие: Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна 0,2. Найти вероятность того, что стрелок промахнется не больше четырёх выстрелов.
Шаги решения:
Определим событие:
- Вероятность попадания при одном выстреле \( p = 0.2 \).
- Вероятность промаха при одном выстреле \( q = 1 - p = 0.8 \).
Используем биномиальное распределение:
- Нужно найти вероятность того, что количество промахов \( X \leq 4 \) из 10 выстрелов.
Формула биномиального распределения: \[ P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] где:
- \( C_n^k \) — число сочетаний, равно \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).
- \( n = 10 \) — общее количество выстрелов.
- \( k \) — количество попаданий, от 0 до 4.
Вычисляем вероятность для каждого случая и суммируем:
\[ P(X \leq 4) = \sum_{k=0}^{4} C_{10}^k \cdot (0.2)^k \cdot (0.8)^{10-k} \]
- Вычислим конкретные значения:
\( P(X = 0) = C_{10}^0 \cdot (0.2)^0 \cdot (0.8)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot 0.1073741824 = 0.1073741824 \)
\( P(X = 1) = C_{10}^1 \cdot (0.2)^1 \cdot (0.8)^9 = 10 \cdot 0.2 \cdot 0.134217728 = 0.268435456 \)
\( P(X = 2) = C_{10}^2 \cdot (0.2)^2 \cdot (0.8)^8 = 45 \cdot 0.04 \cdot 0.16777216 = 0.301989888 \)
\( P(X = 3) = C_{10}^3 \cdot (0.2)^3 \cdot (0.8)^7 = 120 \cdot 0.008 \cdot 0.2097152 = 0.201326592 \)
\( P(X = 4) = C_{10}^4 \cdot (0.2)^4 \cdot (0.8)^6 = 210 \cdot 0.0016 \cdot 0.262144 = 0.088080384 \)
- Суммируем вероятности:
\[ P(X \leq 4) = 0.1073741824 + 0.268435456 + 0.301989888 + 0.201326592 + 0.088080384 \]
\[ P(X \leq 4) = 0.9672065024 \]
- Округлим до сотых:
Вероятность того, что стрелок промахнется не больше четырёх раз, приблизительно равна \( 0.97 \).
Таким образом, вероятность того, что стрелок промахнется не более четырех раз составляет 0.97.
