Реши задачу

Давайте решим задачу. Нам дан прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \) с прямым углом \( \angle ACB \). Известно, что: - \( AD = 2 \) - \( AB = 3 \) Необходимо найти синус и косинус угла \( A \), а также тангенс и котангенс угла \( A \). 1. **Найдем длину катета \( BC \):** Поскольку \( AD \) — высота из вершины \( A \) на гипотенузу \( BC \) и тригонометрическая формула для высоты в прямоугольном треугольнике \( \frac{1}{h} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \), применим её для \( \triangle ABD \): \[ \frac{1}{BC} = \frac{1}{AD} + \frac{1}{AB} \] Подставим значения: \[ \frac{1}{BC} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \] \[ BC = \frac{6}{5} \] 2. **Найдем синус угла \( A \):** В прямоугольном треугольнике синус угла \( A \) равен отношению противолежащего катета \( BC \) к гипотенузе \( AB \): \[ \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{\frac{6}{5}}{3} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} \] 3. **Найдем косинус угла \( A \):** Косинус угла \( A \) равен отношению прилежащего катета \( AC \) к гипотенузе \( AB \). Используя теорему Пифагора, вычислим \( AC \): \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] \[ 3^2 = AC^2 + \left( \frac{6}{5} \right)^2 \] \[ 9 = AC^2 + \frac{36}{25} \] \[ AC^2 = 9 - \frac{36}{25} = \frac{225}{25} - \frac{36}{25} = \frac{189}{25} \] \[ AC = \frac{\sqrt{189}}{5} \] Теперь находим косинус: \[ \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{\frac{\sqrt{189}}{5}}{3} = \frac{\sqrt{189}}{15} \] 4. **Найдем тангенс угла \( A \):** Тангенс угла \( A \) равен отношению противолежащего катета \( BC \) к прилежащему \( AC \): \[ \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{\frac{6}{5}}{\frac{\sqrt{189}}{5}} = \frac{6}{\sqrt{189}} \] 5. **Найдем котангенс угла \( A \):** Котангенс угла \( A \) — это обратная величина тангенса: \[ \cot A = \frac{AC}{BC} = \frac{\frac{\sqrt{189}}{5}}{\frac{6}{5}} = \frac{\sqrt{189}}{6} \] Теперь у нас есть все значения тригонометрических функций для угла \( A \).