Реши задачу
Давайте решим задачу. Нам дан прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \) с прямым углом \( \angle ACB \). Известно, что:
- \( AD = 2 \)
- \( AB = 3 \)
Необходимо найти синус и косинус угла \( A \), а также тангенс и котангенс угла \( A \).
Найдем длину катета \( BC \):
Поскольку \( AD \) — высота из вершины \( A \) на гипотенузу \( BC \) и тригонометрическая формула для высоты в прямоугольном треугольнике \( \frac{1}{h} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \), применим её для \( \triangle ABD \):
\[ \frac{1}{BC} = \frac{1}{AD} + \frac{1}{AB} \]
Подставим значения: \[ \frac{1}{BC} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \]
\[ BC = \frac{6}{5} \]
Найдем синус угла \( A \):
В прямоугольном треугольнике синус угла \( A \) равен отношению противолежащего катета \( BC \) к гипотенузе \( AB \):
\[ \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{\frac{6}{5}}{3} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} \]
Найдем косинус угла \( A \):
Косинус угла \( A \) равен отношению прилежащего катета \( AC \) к гипотенузе \( AB \). Используя теорему Пифагора, вычислим \( AC \):
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
\[ 3^2 = AC^2 + \left( \frac{6}{5} \right)^2 \]
\[ 9 = AC^2 + \frac{36}{25} \]
\[ AC^2 = 9 - \frac{36}{25} = \frac{225}{25} - \frac{36}{25} = \frac{189}{25} \]
\[ AC = \frac{\sqrt{189}}{5} \]
Теперь находим косинус:
\[ \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{\frac{\sqrt{189}}{5}}{3} = \frac{\sqrt{189}}{15} \]
Найдем тангенс угла \( A \):
Тангенс угла \( A \) равен отношению противолежащего катета \( BC \) к прилежащему \( AC \):
\[ \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{\frac{6}{5}}{\frac{\sqrt{189}}{5}} = \frac{6}{\sqrt{189}} \]
Найдем котангенс угла \( A \):
Котангенс угла \( A \) — это обратная величина тангенса:
\[ \cot A = \frac{AC}{BC} = \frac{\frac{\sqrt{189}}{5}}{\frac{6}{5}} = \frac{\sqrt{189}}{6} \]
Теперь у нас есть все значения тригонометрических функций для угла \( A \).
