В серии из 9 испытаний Бернулли с вероятностью успеха p=0,4 найдите вероятность менее 3 успехов. Результаты округлите до тысячных

Для решения задачи о вероятности в ряде испытаний Бернулли мы можем использовать формулу для расчета вероятности в биномиальном распределении. В данном случае у нас есть 9 испытаний, вероятность успеха \( p = 0.4 \) и нам нужно найти вероятность того, что будет менее 3 успехов. 1. **Формула биномиального распределения**: Вероятность получить ровно \( k \) успехов в \( n \) испытаниях определяется по формуле: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \] где: - \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \) - \( p \) — вероятность успеха - \( (1-p) \) — вероятность неуспеха 2. **Наша задача**: Нам нужно найти вероятность того, что будет менее 3 успехов, то есть \( P(X < 3) \): \[ P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \] 3. **Рассчитаем каждую из вероятностей поочередно**: - **Вероятность \( P(X = 0) \)**: \[ P(X = 0) = C(9, 0) \cdot (0.4)^0 \cdot (0.6)^9 = 1 \cdot 1 \cdot (0.6)^9 \approx 0.010616 \] - **Вероятность \( P(X = 1) \)**: \[ P(X = 1) = C(9, 1) \cdot (0.4)^1 \cdot (0.6)^8 = 9 \cdot 0.4 \cdot (0.6)^8 \] \[ C(9, 1) = 9, \quad (0.6)^8 \approx 0.016796 \] \[ P(X = 1) \approx 9 \cdot 0.4 \cdot 0.016796 \approx 0.060475 \] - **Вероятность \( P(X = 2) \)**: \[ P(X = 2) = C(9, 2) \cdot (0.4)^2 \cdot (0.6)^7 = 36 \cdot (0.4)^2 \cdot (0.6)^7 \] \[ C(9, 2) = 36, \quad (0.6)^7 \approx 0.0279936 \] \[ P(X = 2) \approx 36 \cdot 0.16 \cdot 0.0279936 \approx 0.161970 \] 4. **Сложим вероятности для \( P(X < 3) \)**: \[ P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \] \[ P(X < 3) \approx 0.010616 + 0.060475 + 0.161970 \approx 0.233061 \] 5. **Округление**: Окончательный ответ, округленный до тысячных: \[ P(X < 3) \approx 0.233 \] Таким образом, вероятность успешного завершения менее 3 испытаний из 9 с вероятностью успеха 0.4 составляет примерно **0.233**.