В серии из 9 испытаний Бернулли с вероятностью успеха p=0,4 найдите вероятность менее 3 успехов. Результаты округлите до тысячных
Для решения задачи о вероятности в ряде испытаний Бернулли мы можем использовать формулу для расчета вероятности в биномиальном распределении. В данном случае у нас есть 9 испытаний, вероятность успеха \( p = 0.4 \) и нам нужно найти вероятность того, что будет менее 3 успехов.
Формула биномиального распределения: Вероятность получить ровно \( k \) успехов в \( n \) испытаниях определяется по формуле: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \] где:
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
- \( p \) — вероятность успеха
- \( (1-p) \) — вероятность неуспеха
Наша задача: Нам нужно найти вероятность того, что будет менее 3 успехов, то есть \( P(X < 3) \): \[ P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
Рассчитаем каждую из вероятностей поочередно:
Вероятность \( P(X = 0) \): \[ P(X = 0) = C(9, 0) \cdot (0.4)^0 \cdot (0.6)^9 = 1 \cdot 1 \cdot (0.6)^9 \approx 0.010616 \]
Вероятность \( P(X = 1) \): \[ P(X = 1) = C(9, 1) \cdot (0.4)^1 \cdot (0.6)^8 = 9 \cdot 0.4 \cdot (0.6)^8 \] \[ C(9, 1) = 9, \quad (0.6)^8 \approx 0.016796 \] \[ P(X = 1) \approx 9 \cdot 0.4 \cdot 0.016796 \approx 0.060475 \]
Вероятность \( P(X = 2) \): \[ P(X = 2) = C(9, 2) \cdot (0.4)^2 \cdot (0.6)^7 = 36 \cdot (0.4)^2 \cdot (0.6)^7 \] \[ C(9, 2) = 36, \quad (0.6)^7 \approx 0.0279936 \] \[ P(X = 2) \approx 36 \cdot 0.16 \cdot 0.0279936 \approx 0.161970 \]
Сложим вероятности для \( P(X < 3) \): \[ P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \] \[ P(X < 3) \approx 0.010616 + 0.060475 + 0.161970 \approx 0.233061 \]
Округление: Окончательный ответ, округленный до тысячных: \[ P(X < 3) \approx 0.233 \]
Таким образом, вероятность успешного завершения менее 3 испытаний из 9 с вероятностью успеха 0.4 составляет примерно 0.233.
