Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов, так как нам известны два угла и одна сторона треугольника.
Дано:
- Угол ( C = 45^\circ )
- Угол ( B = 75^\circ )
- Угол ( A = 60^\circ )
- Длина стороны ( AB = 12 )
Шаг 1: Проверка суммы углов
Сначала проверим, что сумма углов равна ( 180^\circ ):
[
A + B + C = 60^\circ + 75^\circ + 45^\circ = 180^\circ
]
Сумма углов равна 180°, значит, треугольник построен правильно.
Шаг 2: Применение теоремы синусов
По теореме синусов:
[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
]
где:
- ( a = BC )
- ( b = CA )
- ( c = AB )
Нам известна сторона ( c = AB = 12 ) и углы ( A ) и ( B ). Находим сторону ( BC ) (( a )) по следующей формуле:
[
\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin B}
]
Подставим известные значения:
[
\frac{BC}{\sin 60^\circ} = \frac{12}{\sin 75^\circ}
]
Шаг 3: Значения синусов
Синусы углов:
- ( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} )
- ( \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} )
Шаг 4: Подстановка значений в формулу
Теперь подставим все значения:
[
\frac{BC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}
]
Упрощаем правую часть:
[
\frac{BC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 12 \cdot \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{48}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}
]
Теперь перемножаем обе стороны на ( \frac{\sqrt{3}}{2} ):
[
BC = \frac{48 \cdot \sqrt{3}}{2(\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{24 \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}
]
Шаг 5: Окончательный ответ
Теперь у нас есть длина стороны ( BC ):
[
BC \approx \frac{24 \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \approx 18.8 \text{ (при числовом вычислении)}
]
Таким образом, мы нашли сторону ( BC ) в треугольнике АБС.
