Вероятность того, что Маша верно решит задачу по геометрии, равна 0,75. Найдите вероятность того, что Маша верно решит не менее 6 задач из 10 заданных. Ответ округлите до сотых.

Решим задачу о вероятности, используя модель биномиального распределения, поскольку речь идет о серии независимых испытаний (решении задач), где каждое испытание имеет два исхода: успех (Маша решает задачу верно) и неудача (Маша решает задачу неверно).

Дано:

• Вероятность успеха (верное решение задачи) \( p = 0.75 \).
• Вероятность неудачи \( q = 1 - p = 0.25 \).
• Общее количество задач \( n = 10 \).
• Мы хотим найти вероятность того, что Маша верно решит 6 или более задач.

Формула биномиального распределения:

Вероятность того, что событие происходит \( k \) раз, из \( n \) испытаний, задается формулой:

\[ P(k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Шаг 1: Найдем вероятность для каждого значения \( k \) от 6 до 10.

1. Для \( k = 6 \): \[ P(6) = C(10, 6) \cdot (0.75)^6 \cdot (0.25)^4 \]

2. Для \( k = 7 \): \[ P(7) = C(10, 7) \cdot (0.75)^7 \cdot (0.25)^3 \]

3. Для \( k = 8 \): \[ P(8) = C(10, 8) \cdot (0.75)^8 \cdot (0.25)^2 \]

4. Для \( k = 9 \): \[ P(9) = C(10, 9) \cdot (0.75)^9 \cdot (0.25)^1 \]

5. Для \( k = 10 \): \[ P(10) = C(10, 10) \cdot (0.75)^{10} \cdot (0.25)^0 \]

Шаг 2: Вычислим каждую вероятность.

Вычисление биномиальных коэффициентов:

• \( C(10, 6) = \frac{10!}{6!4!} = 210 \)
• \( C(10, 7) = \frac{10!}{7!3!} = 120 \)
• \( C(10, 8) = \frac{10!}{8!2!} = 45 \)
• \( C(10, 9) = \frac{10!}{9!1!} = 10 \)
• \( C(10, 10) = 1 \)

Теперь подставим это в формулы:

1. Для \( k = 6 \): \[ P(6) = 210 \cdot (0.75)^6 \cdot (0.25)^4 \approx 210 \cdot 0.17803125 \cdot 0.00390625 \approx 1.527 \]

2. Для \( k = 7 \): \[ P(7) = 120 \cdot (0.75)^7 \cdot (0.25)^3 \approx 120 \cdot 0.13348351 \cdot 0.015625 \approx 0.251 \]

3. Для \( k = 8 \): \[ P(8) = 45 \cdot (0.75)^8 \cdot (0.25)^2 \approx 45 \cdot 0.100112915 \cdot 0.0625 \approx 0.284 \]

4. Для \( k = 9 \): \[ P(9) = 10 \cdot (0.75)^9 \cdot (0.25)^1 \approx 10 \cdot 0.075144 \cdot 0.25 \approx 0.18786 \]

5. Для \( k = 10 \): \[ P(10) = 1 \cdot (0.75)^{10} \cdot (0.25)^0 \approx 0.05631351 \]

Шаг 3: Найдем общую вероятность \( P(6 \text{ or more}) \):

\[ P(6 \text{ or more}) = P(6) + P(7) + P(8) + P(9) + P(10) \]

Шаг 4: Подсчеты в итоге:

Теперь подытожим:

• \( P(6) \approx 0.178 \)
• \( P(7) \approx 0.251 \)
• \( P(8) \approx 0.284 \)
• \( P(9) \approx 0.18786 \)
• \( P(10) \approx 0.05631 \)

\[ P(6 \text{ or more}) \approx 0.178 + 0.251 + 0.284 + 0.18786 + 0.05631 \approx 0.957 \]

Ответ:

Вероятность того, что Маша верно решит не менее 6 задач из 10, составляет примерно 0.96 (после округления до сотых).