(√10+√5) *√20-5√8

Давайте подробно решим выражение \((\sqrt{10} + \sqrt{5}) \cdot \sqrt{20} - 5\sqrt{8}\), выполнив шаги последовательно.

Шаг 1: Упрощение подкоренных выражений

Для начала упростим каждую часть выражения:

1. \(\sqrt{20}\): \[ \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5} \]

2. \(\sqrt{8}\): \[ \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \]

Теперь подставим эти упрощенные значения в исходное выражение: \[ (\sqrt{10} + \sqrt{5}) \cdot 2\sqrt{5} - 5 \cdot 2\sqrt{2} \]

Шаг 2: Перемножим первое слагаемое

Теперь упростим первую часть: \[ (\sqrt{10} + \sqrt{5}) \cdot 2\sqrt{5} = 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{10} + 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \] Используем свойства корней:

1. \(2\sqrt{5} \cdot \sqrt{10} = 2\sqrt{50} = 2\sqrt{25 \cdot 2} = 2 \cdot 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2}\)
2. \(2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 2 \cdot 5 = 10\)

Так что: \[ (\sqrt{10} + \sqrt{5}) \cdot 2\sqrt{5} = 10\sqrt{2} + 10 \]

Шаг 3: Упростим второе слагаемое

Теперь упрощаем вторую часть: \[ 5 \cdot 2\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \]

Шаг 4: Объединим все части

Теперь можем объединить все части в единое выражение: \[ 10\sqrt{2} + 10 - 10\sqrt{2} \]

Отметим, что \(10\sqrt{2}\) и \(-10\sqrt{2}\) взаимно уничтожаются: \[ 10\sqrt{2} - 10\sqrt{2} + 10 = 10 \]

Ответ

В конечном итоге, результат упрощения выражения: \[ \boxed{10} \]