Найдите количество двузначных натуральных чисел X, для которых ложно высказывание: (X ≥ 25) И НЕ (X > 50) ИЛИ (X кратно 3)
Чтобы решить эту задачу, начнем с формулировки данного высказывания и проанализируем его каждый компонент.
Выражение, которое нужно проанализировать, имеет вид:
\[ (X \geq 25) \land \neg (X > 50) \lor (X \text{ кратно } 3) \]
Разобьем его на части:
- Часть 1: \(X \geq 25\) – это условие истинно, если X – двузначное число, большее или равное 25.
- Часть 2: \(\neg (X > 50)\) – это условие истинно, если X меньше или равно 50.
- Часть 3: \(X \text{ кратно } 3\) – это условие истинно, если X делится на 3 без остатка.
Теперь давайте выясним, при каких условиях данное высказывание ложно. Чтобы высказывание было ложным, должны одновременно выполняться условия:
\[ \neg ((X \geq 25) \land \neg (X > 50)) \land \neg (X \text{ кратно } 3) \]
Поэтому можем переписать это:
1. Найдем, когда \( (X \geq 25) \land \neg (X > 50) \) ложно.
Это выражение ложно, если:
- \(X < 25\) или \(X > 50\).
2. Теперь разберем \(\neg (X \text{ кратно } 3)\):
Это означает, что X не кратно 3.
3. Объединим условия:
Таким образом, у нас есть нахождение двузначных натуральных чисел, которые либо:
- меньше 25,
- больше 50, и
- не кратны 3.
Теперь разберем наши диапазоны:
Двузначные натуральные числа: Двузначные натуральные числа находятся в диапазоне от 10 до 99.
Часть 1: Числа меньше 25
Двузначные числа меньше 25: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24. Давайте посчитаем их:
- Общее количество: \(24 - 10 + 1 = 15\).
Теперь найдем, сколько из них не кратны 3:
- Кратные 3: 12, 15, 18, 21, 24. (всего 5 чисел)
- Следовательно, \(15 - 5 = 10\) чисел меньше 25, не кратных 3.
Часть 2: Числа больше 50
Двузначные числа больше 50: 51, 52, 53, ..., 99. Посчитаем их:
- Общее количество: \(99 - 51 + 1 = 49\).
Теперь найдем, сколько из них не кратны 3:
- Кратные 3: 51, 54, 57, ..., 99. Теперь найдем количество кратных 3 в этом диапазоне.
Используем формулу: Если a - первое кратное число 3 больше 50: a = 51, и b - последнее кратное число 3 меньше 100: b = 99. Обозначим d = 3.
\( n = \frac{b - a}{d} + 1 = \frac{99 - 51}{3} + 1 = \frac{48}{3} + 1 = 16 + 1 = 17 \)
Таким образом, кратных 3: 17.
- Следовательно, \(49 - 17 = 32\) чисел больше 50, не кратных 3.
4. Сложим оба результата:
\(10 + 32 = 42\)
Ответ:
Количество двузначных натуральных чисел \(X\), для которых данное высказывание ложно, равно 42.
