дуга AB равна 270° найдите длину хорды AB если окружность √2 см

Чтобы найти длину хорды \( AB \) в окружности, зная угол \( \angle AOB \) (равный 270°) и радиус окружности, равный \( r = \sqrt{2} \) см, мы можем воспользоваться формулой для длины хорды.

Шаг 1: Понять соотношение хорды и угла

Для окружности, длина хорды может быть найдена с помощью следующей формулы:

\[ L = 2r \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \]

где:

• \( L \) — длина хорды,
• \( r \) — радиус окружности,
• \( \theta \) — центральный угол в радианах.

Шаг 2: Преобразовать угол в радианы

Сначала необходимо преобразовать угол \( 270° \) в радианы:

\[ \theta = 270° \cdot \frac{\pi}{180°} = \frac{3\pi}{2} \text{ радиан} \]

Шаг 3: Подставить значение угла

Теперь поделим этот угол на 2, чтобы использовать в формуле:

\[ \frac{\theta}{2} = \frac{3\pi/2}{2} = \frac{3\pi}{4} \text{ радиан} \]

Шаг 4: Вычислить длину хорды

Теперь подставляем значения в формулу длины хорды:

\[ L = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \]

Значение \( \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \) известно:

\[ \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Теперь подставим это в формулу:

\[ L = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Упрощая, мы получаем:

\[ L = 2 \cdot \frac{2}{2} = 2 \text{ см} \]

Ответ

Длина хорды \( AB \) равна \( 2 \) см.