Чтобы найти длину хорды ( AB ) в окружности, зная угол ( \angle AOB ) (равный 270°) и радиус окружности, равный ( r = \sqrt{2} ) см, мы можем воспользоваться формулой для длины хорды.
Шаг 1: Понять соотношение хорды и угла
Для окружности, длина хорды может быть найдена с помощью следующей формулы:
[
L = 2r \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)
]
где:
- ( L ) — длина хорды,
- ( r ) — радиус окружности,
- ( \theta ) — центральный угол в радианах.
Шаг 2: Преобразовать угол в радианы
Сначала необходимо преобразовать угол ( 270° ) в радианы:
[
\theta = 270° \cdot \frac{\pi}{180°} = \frac{3\pi}{2} \text{ радиан}
]
Шаг 3: Подставить значение угла
Теперь поделим этот угол на 2, чтобы использовать в формуле:
[
\frac{\theta}{2} = \frac{3\pi/2}{2} = \frac{3\pi}{4} \text{ радиан}
]
Шаг 4: Вычислить длину хорды
Теперь подставляем значения в формулу длины хорды:
[
L = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)
]
Значение ( \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) ) известно:
[
\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
]
Теперь подставим это в формулу:
[
L = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
]
Упрощая, мы получаем:
[
L = 2 \cdot \frac{2}{2} = 2 \text{ см}
]
Ответ
Длина хорды ( AB ) равна ( 2 ) см.
