даны векторы m{3;-4;5} и n{-2;3;7}
Давайте разберем, что можно сделать с заданными векторами \( \mathbf{m} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} \) и \( \mathbf{n} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} \).
Мы можем выполнить несколько операций с векторами, например, найти их сумму, разность, скалярное произведение и векторное произведение. Рассмотрим каждую из операций.
1. Сложение векторов
Для того чтобы сложить два вектора, мы складываем их соответствующие координаты:
\[ \mathbf{m} + \mathbf{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} \]
Сложим координаты:
\[ \begin{pmatrix} 3 + (-2) \\ -4 + 3 \\ 5 + 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 12 \end{pmatrix} \]
Таким образом, сумма векторов \( \mathbf{m} \) и \( \mathbf{n} \) равна \( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 12 \end{pmatrix} \).
2. Разность векторов
Чтобы найти разность двух векторов, нужно вычесть координаты второго вектора из координат первого:
\[ \mathbf{m} - \mathbf{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} \]
Вычтем координаты:
\[ \begin{pmatrix} 3 - (-2) \\ -4 - 3 \\ 5 - 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + 2 \\ -4 - 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -7 \\ -2 \end{pmatrix} \]
Таким образом, разность векторов \( \mathbf{m} \) и \( \mathbf{n} \) равна \( \begin{pmatrix} 5 \\ -7 \\ -2 \end{pmatrix} \).
3. Скалярное произведение
Скалярное произведение (или внутреннее произведение) векторов вычисляется по формуле:
\[ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = m_1n_1 + m_2n_2 + m_3n_3 \]
Где \( m_1, m_2, m_3 \) — координаты вектора \( \mathbf{m} \), а \( n_1, n_2, n_3 \) — координаты вектора \( \mathbf{n} \).
Подставим значения:
\[ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 3 \cdot (-2) + (-4) \cdot 3 + 5 \cdot 7 \]
Посчитаем:
\[ = -6 - 12 + 35 = 17 \]
Скалярное произведение векторов \( \mathbf{m} \) и \( \mathbf{n} \) равно 17.
4. Векторное произведение
Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве рассчитывается следующим образом:
\[ \mathbf{m} \times \mathbf{n} = \begin{pmatrix} m_2n_3 - m_3n_2 \\ m_3n_1 - m_1n_3 \\ m_1n_2 - m_2n_1 \end{pmatrix} \]
Подставляя значения:
\[ \mathbf{m} \times \mathbf{n} = \begin{pmatrix} (-4) \cdot 7 - 5 \cdot 3 \\ 5 \cdot (-2) - 3 \cdot 7 \\ 3 \cdot 3 - (-4) \cdot (-2) \end{pmatrix} \]
Посчитаем:
- Для первой координаты: \(-4 \cdot 7 - 5 \cdot 3 = -28 - 15 = -43\)
- Для второй координаты: \(5 \cdot (-2) - 3 \cdot 7 = -10 - 21 = -31\)
- Для третьей координаты: \(3 \cdot 3 - (-4) \cdot (-2) = 9 - 8 = 1\)
Таким образом, векторное произведение \( \mathbf{m} \times \mathbf{n} \) равно \( \begin{pmatrix} -43 \\ -31 \\ 1 \end{pmatrix} \).
Заключение
Мы рассмотрели основные операции с векторами \( \mathbf{m} \) и \( \mathbf{n} \). Если у вас есть дополнительные вопросы по ним или вы хотите разобрать что-то конкретное, дайте знать!
