Даны векторы m{3;-4;5} и n{-2;3;7}

Давайте разберем, что можно сделать с заданными векторами \( \mathbf{m} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} \) и \( \mathbf{n} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} \). Мы можем выполнить несколько операций с векторами, например, найти их сумму, разность, скалярное произведение и векторное произведение. Рассмотрим каждую из операций. ### 1. Сложение векторов Для того чтобы сложить два вектора, мы складываем их соответствующие координаты: \[ \mathbf{m} + \mathbf{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} \] Сложим координаты: \[ \begin{pmatrix} 3 + (-2) \\ -4 + 3 \\ 5 + 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 12 \end{pmatrix} \] Таким образом, сумма векторов \( \mathbf{m} \) и \( \mathbf{n} \) равна \( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 12 \end{pmatrix} \). ### 2. Разность векторов Чтобы найти разность двух векторов, нужно вычесть координаты второго вектора из координат первого: \[ \mathbf{m} - \mathbf{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} \] Вычтем координаты: \[ \begin{pmatrix} 3 - (-2) \\ -4 - 3 \\ 5 - 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + 2 \\ -4 - 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -7 \\ -2 \end{pmatrix} \] Таким образом, разность векторов \( \mathbf{m} \) и \( \mathbf{n} \) равна \( \begin{pmatrix} 5 \\ -7 \\ -2 \end{pmatrix} \). ### 3. Скалярное произведение Скалярное произведение (или внутреннее произведение) векторов вычисляется по формуле: \[ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = m_1n_1 + m_2n_2 + m_3n_3 \] Где \( m_1, m_2, m_3 \) — координаты вектора \( \mathbf{m} \), а \( n_1, n_2, n_3 \) — координаты вектора \( \mathbf{n} \). Подставим значения: \[ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 3 \cdot (-2) + (-4) \cdot 3 + 5 \cdot 7 \] Посчитаем: \[ = -6 - 12 + 35 = 17 \] Скалярное произведение векторов \( \mathbf{m} \) и \( \mathbf{n} \) равно 17. ### 4. Векторное произведение Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве рассчитывается следующим образом: \[ \mathbf{m} \times \mathbf{n} = \begin{pmatrix} m_2n_3 - m_3n_2 \\ m_3n_1 - m_1n_3 \\ m_1n_2 - m_2n_1 \end{pmatrix} \] Подставляя значения: \[ \mathbf{m} \times \mathbf{n} = \begin{pmatrix} (-4) \cdot 7 - 5 \cdot 3 \\ 5 \cdot (-2) - 3 \cdot 7 \\ 3 \cdot 3 - (-4) \cdot (-2) \end{pmatrix} \] Посчитаем: 1. Для первой координаты: \(-4 \cdot 7 - 5 \cdot 3 = -28 - 15 = -43\) 2. Для второй координаты: \(5 \cdot (-2) - 3 \cdot 7 = -10 - 21 = -31\) 3. Для третьей координаты: \(3 \cdot 3 - (-4) \cdot (-2) = 9 - 8 = 1\) Таким образом, векторное произведение \( \mathbf{m} \times \mathbf{n} \) равно \( \begin{pmatrix} -43 \\ -31 \\ 1 \end{pmatrix} \). ### Заключение Мы рассмотрели основные операции с векторами \( \mathbf{m} \) и \( \mathbf{n} \). Если у вас есть дополнительные вопросы по ним или вы хотите разобрать что-то конкретное, дайте знать!