За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки не окажутся за столом рядом.

Чтобы решить задачу о вероятности того, что обе девочки не окажутся рядом за круглым столом, начнем с определения общего числа расположений и количества неудачных расположений (когда девочки сидят рядом).

Шаг 1: Общее количество способов рассадить всех

1. Рассаживание 9 людей за круглым столом: Для стульев за круглым столом учитываем, что расположение считается одинаковым при повороте. Всего 9 человек можно разместить в \((9-1)! = 8!\) способов. Это потому, что один из людей можно зафиксировать (например, зафиксируем одного мальчика), и затем располагаем остальных.

\[ 8! = 40320 \]

Шаг 2: Количество способов, когда девочки сидят рядом

1. Вариант, когда девочки сидят рядом: Мы можем рассматривать обе девочки как одну "единицу" или "группу". В результате, у нас получается 8 "единиц" (7 мальчиков + 1 группа девочек).

2. Теперь, разместим эти 8 единиц за столом: количество способов разместить 8 единиц будет \((8-1)! = 7!\).

\[ 7! = 5040 \]

3. Способы рассаживания девочек внутри своей группы: В группе из 2 девочек можно переставить их местами, то есть 2 способа (девочка A может сидеть слева, а девочка B - справа, и наоборот).

\[ \text{Способы рассаживания девочек} = 2! = 2 \]

4. Общее количество способов, когда девочки сидят рядом: Умножим количество способов расположить 8 "единиц" на количество способов рассадки девушек внутри группы:

\[ 7! \times 2 = 5040 \times 2 = 10080 \]

Шаг 3: Найдем количество способов, когда девочки не сидят рядом

Количество расположений, когда девочки не сидят рядом, вычисляется как разность между общим количеством способов расположить всех и количеством расположений, когда девочки сидят рядом:

\[ \text{Способы, когда девочки не рядом} = 8! - (7! \times 2) = 40320 - 10080 = 30240 \]

Шаг 4: Находим вероятность

Вероятность того, что обе девочки не окажутся рядом, определяется как отношение способов, при которых девочки не рядом, к общему количеству способов расположить всех:

\[ P(\text{не рядом}) = \frac{\text{Способы, когда девочки не рядом}}{\text{Общее количество способов}} = \frac{30240}{40320} = \frac{3}{4} \]

Ответ

Вероятность того, что обе девочки не окажутся за столом рядом, равна \( \frac{3}{4} \).