Для нахождения суммы первых шести членов геометрической прогрессии необходимо знать первый член прогрессии (a1). Мы знаем, что третий член (b_3) равен 12 и что знаменатель прогрессии (q) равен 2.
Формула для n-го члена геометрической прогрессии выглядит следующим образом:
[
b_n = a_1 \cdot q^{n-1}
]
Подставим известные значения для третьего члена:
[
b_3 = a_1 \cdot q^{3-1} = a_1 \cdot q^2
]
[
12 = a_1 \cdot 2^2
]
[
12 = a_1 \cdot 4
]
[
a_1 = \frac{12}{4} = 3
]
Теперь, когда мы знаем первый член (a_1 = 3), можем найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии. Сумма (S_n) первых (n) членов геометрической прогрессии рассчитывается по формуле:
[
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (q \neq 1)
]
Подставим наши значения:
[
S_6 = 3 \cdot \frac{1 - 2^6}{1 - 2}
]
[
S_6 = 3 \cdot \frac{1 - 64}{-1}
]
[
S_6 = 3 \cdot \frac{-63}{-1}
]
[
S_6 = 3 \cdot 63 = 189
]
Таким образом, сумма первых шести членов геометрической прогрессии равна 189.
