3. Определите вид треугольника АВС, если А(3;9), B(0;6), C(4;2).

Чтобы определить вид треугольника ABC с вершинами в точках A(3;9), B(0;6) и C(4;2), нам нужно сначала найти длины сторон треугольника. Для этого мы воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в координатной плоскости: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] где \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) — координаты двух точек. ### Шаг 1: Найдем длины сторон треугольника 1. **Длина стороны AB**: Точки A(3;9) и B(0;6). \[ AB = \sqrt{(0 - 3)^2 + (6 - 9)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \] 2. **Длина стороны BC**: Точки B(0;6) и C(4;2). \[ BC = \sqrt{(4 - 0)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \] 3. **Длина стороны CA**: Точки C(4;2) и A(3;9). \[ CA = \sqrt{(3 - 4)^2 + (9 - 2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] Теперь у нас есть длины всех трех сторон треугольника: - \( AB = 3\sqrt{2} \) - \( BC = 4\sqrt{2} \) - \( CA = 5\sqrt{2} \) ### Шаг 2: Определим вид треугольника Теперь сравним длины сторон, чтобы определить вид треугольника: 1. Если все три стороны равны, треугольник равносторонний. 2. Если две стороны равны, треугольник равнобедренный. 3. Если все стороны разные, треугольник разносторонний. В данном случае: - \( 3\sqrt{2} \neq 4\sqrt{2} \neq 5\sqrt{2} \) Таким образом, треугольник ABC является **разносторонним**. ### Шаг 3: Дополнительная проверка на тип углов Для определения типа углов треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) можно воспользоваться теоремой косинусов. Однако для простоты, мы можем просто проверить, выполняется ли неравенство треугольника и сумму квадратов. Для прямоугольного треугольника должно соблюдаться: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] где \( c \) — максимальная длина стороны. В нашем случае: - \( a = 3\sqrt{2} \) - \( b = 4\sqrt{2} \) - \( c = 5\sqrt{2} \) Теперь проверим: \[ (3\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 = (5\sqrt{2})^2 \] \[ 18 + 32 = 50 \] \[ 50 = 50 \] Это равенство показывает, что треугольник является **прямоугольным**. ### Итог Таким образом, треугольник ABC является **прямоугольным разносторонним треугольником**.