Чтобы решить задачу о нахождении объёма правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно знать несколько основополагающих формул.
Дано:
- Сторона основания (a) = 24 см
- Площадь боковой поверхности (S_н) = 1200 см²
Найдем высоту пирамиды
Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды вычисляется по формуле:
[
S_{н} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot h
]
где:
- ( P ) — периметр основания,
- ( h ) — высота боковой поверхности (высота треугольника, образованного боковой стороной).
1. Находим периметр основания
Для правильной четырехугольной пирамиды основание представляет собой квадрат, поэтому периметр (P) можно вычислить так:
[
P = 4 \cdot a = 4 \cdot 24 = 96 \text{ см}
]
2. Подставляем значения в формулу для площади боковой поверхности
Теперь подставим периметр в формулу для площади боковой поверхности:
[
1200 = \frac{1}{2} \cdot 96 \cdot h
]
Упрощая, получим:
[
1200 = 48 \cdot h
]
Теперь выразим высоту:
[
h = \frac{1200}{48} = 25 \text{ см}
]
Теперь найдем объём пирамиды
Объём (V) правильной четырехугольной пирамиды можно найти по формуле:
[
V = \frac{1}{3} \cdot S_{основания} \cdot h
]
3. Вычисляем площадь основания
Площадь основания (S_основания) для квадрата:
[
S_{основания} = a^2 = 24^2 = 576 \text{ см}^2
]
4. Подставляем значения в формулу для объёма
Теперь подставим значения в формулу для объёма:
[
V = \frac{1}{3} \cdot 576 \cdot 25
]
Сначала вычисляем:
[
576 \cdot 25 = 14400
]
Теперь подставим это значение в формулу для объёма:
[
V = \frac{1}{3} \cdot 14400 = 4800 \text{ см}^3
]
Ответ
Объём правильной четырехугольной пирамиды составляет 4800 см³.
