Найти площадь фигуры ограниченной осью Ох и параболой 4-х2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной осью \( OX \) и параболой \( y = 4 - x^2 \), необходимо выполнить следующие шаги: 1. **Определить точки пересечения параболы с осью \( OX \)**. Для этого нужно приравнять \( y \) к нулю: \[ 4 - x^2 = 0 \] Решим это уравнение: \[ x^2 = 4 \implies x = -2 \text{ и } x = 2 \] Таким образом, парабола пересекает ось \( OX \) в точках \( (-2, 0) \) и \( (2, 0) \). 2. **Записать определённый интеграл для нахождения площади под параболой**. Площадь фигуры, ограниченной параболой и осью \( OX \), можно найти, вычислив интеграл от функции \( y = 4 - x^2 \) на отрезке \([-2, 2]\): \[ S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx \] 3. **Вычислить интеграл**: \[ S = \int_{-2}^{2} 4 \, dx - \int_{-2}^{2} x^2 \, dx \] Сначала найдем первый интеграл: \[ \int_{-2}^{2} 4 \, dx = 4 \cdot (2 - (-2)) = 4 \cdot 4 = 16 \] Теперь найдем второй интеграл: \[ \int_{-2}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3} = \frac{8}{3} - \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3} \] Подставляем полученные значения обратно в формулу для площади: \[ S = 16 - \frac{16}{3} \] Приведем к общему знаменателю: \[ S = \frac{48}{3} - \frac{16}{3} = \frac{32}{3} \] Таким образом, площадь фигуры, ограниченной осью \( OX \) и параболой \( y = 4 - x^2 \), равна \( \frac{32}{3} \).