Найти площадь фигуры ограниченной осью Ох и параболой 4-х2
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной осью \( OX \) и параболой \( y = 4 - x^2 \), необходимо выполнить следующие шаги:
Определить точки пересечения параболы с осью \( OX \). Для этого нужно приравнять \( y \) к нулю:
\[ 4 - x^2 = 0 \]
Решим это уравнение:
\[ x^2 = 4 \implies x = -2 \text{ и } x = 2 \]
Таким образом, парабола пересекает ось \( OX \) в точках \( (-2, 0) \) и \( (2, 0) \).
Записать определённый интеграл для нахождения площади под параболой. Площадь фигуры, ограниченной параболой и осью \( OX \), можно найти, вычислив интеграл от функции \( y = 4 - x^2 \) на отрезке \([-2, 2]\):
\[ S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx \]
Вычислить интеграл:
\[ S = \int_{-2}^{2} 4 \, dx - \int_{-2}^{2} x^2 \, dx \]
Сначала найдем первый интеграл:
\[ \int_{-2}^{2} 4 \, dx = 4 \cdot (2 - (-2)) = 4 \cdot 4 = 16 \]
Теперь найдем второй интеграл:
\[ \int_{-2}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3} = \frac{8}{3} - \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3} \]
Подставляем полученные значения обратно в формулу для площади:
\[ S = 16 - \frac{16}{3} \]
Приведем к общему знаменателю:
\[ S = \frac{48}{3} - \frac{16}{3} = \frac{32}{3} \]
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной осью \( OX \) и параболой \( y = 4 - x^2 \), равна \( \frac{32}{3} \).
