Для нахождения площади фигуры, ограниченной осью ( OX ) и параболой ( y = -x^2 + 4x - 3 ), сначала найдем точки пересечения параболы с осью ( OX ). Это происходит, когда ( y = 0 ).
Решим уравнение:
[
-x^2 + 4x - 3 = 0
]
Умножим обе стороны на -1, чтобы получить стандартный вид:
[
x^2 - 4x + 3 = 0
]
Теперь применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ):
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Здесь ( a = 1 ), ( b = -4 ), ( c = 3 ):
[
x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}
]
Таким образом, у нас есть два корня:
- ( x_1 = \frac{6}{2} = 3 )
- ( x_2 = \frac{2}{2} = 1 )
Итак, парабола пересекает ось ( OX ) в точках ( x = 1 ) и ( x = 3 ).
Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной параболой и осью ( OX ), используя интеграл:
[
S = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) , dx
]
Вычислим интеграл:
[
S = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) , dx = \left[-\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x\right]_{1}^{3}
]
Теперь подставим границы интегрирования:
Когда ( x = 3 ):
[
-\frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 = -\frac{27}{3} + 2 \cdot 9 - 9 = -9 + 18 - 9 = 0
]
Когда ( x = 1 ):
[
-\frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 = -\frac{1}{3} + 2 - 3 = -\frac{1}{3} - 1 = -\frac{4}{3}
]
Теперь подставим результаты:
[
S = 0 - \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3}
]
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной осью ( OX ) и параболой ( y = -x^2 + 4x - 3 ), равна ( \frac{4}{3} ) квадратных единиц.
