Найти площадь фигуры ограниченной осью Ох и параболой y=-x2+4x-3
Для нахождения площади фигуры, ограниченной осью \( OX \) и параболой \( y = -x^2 + 4x - 3 \), сначала найдем точки пересечения параболы с осью \( OX \). Это происходит, когда \( y = 0 \).
Решим уравнение: \[ -x^2 + 4x - 3 = 0 \]
Умножим обе стороны на -1, чтобы получить стандартный вид: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]
Теперь применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = 3 \): \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \]
Таким образом, у нас есть два корня:
- \( x_1 = \frac{6}{2} = 3 \)
- \( x_2 = \frac{2}{2} = 1 \)
Итак, парабола пересекает ось \( OX \) в точках \( x = 1 \) и \( x = 3 \).
Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной параболой и осью \( OX \), используя интеграл: \[ S = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) \, dx \]
Вычислим интеграл: \[ S = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) \, dx = \left[-\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x\right]_{1}^{3} \]
Теперь подставим границы интегрирования:
Когда \( x = 3 \): \[ -\frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 = -\frac{27}{3} + 2 \cdot 9 - 9 = -9 + 18 - 9 = 0 \]
Когда \( x = 1 \): \[ -\frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 = -\frac{1}{3} + 2 - 3 = -\frac{1}{3} - 1 = -\frac{4}{3} \]
Теперь подставим результаты: \[ S = 0 - \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3} \]
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной осью \( OX \) и параболой \( y = -x^2 + 4x - 3 \), равна \( \frac{4}{3} \) квадратных единиц.
