Решить
Давайте разберем задачи одну за другой.
Задача 1: Разложите на множители
а) \( x^3 + 12b^3 \)
Это сумма кубов, которая раскладывается по формуле:
\[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \]
Здесь \( a = x \) и \( b = 2b \), так что:
\[ x^3 + (2b)^3 = (x + 2b)(x^2 - x \cdot 2b + (2b)^2) \]
\[ = (x + 2b)(x^2 - 2bx + 4b^2) \]
б) \( 0{,}001x^3 - 8y^3 \)
Это разность кубов, которая раскладывается по формуле:
\[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \]
Первым делом, представим 0,001 как \((0{,}1)^3\):
\[ (0{,}1x)^3 - (2y)^3 \]
\[ = (0{,}1x - 2y)((0{,}1x)^2 + 0{,}1x \cdot 2y + (2y)^2) \]
\[ = (0{,}1x - 2y)(0{,}01x^2 + 0{,}2xy + 4y^2) \]
в) \( 1 - 27y^3 \)
Это снова разность кубов:
\[ 1^3 - (3y)^3 = (1 - 3y)(1^2 + 1 \cdot 3y + (3y)^2) \]
\[ = (1 - 3y)(1 + 3y + 9y^2) \]
г) \( x^3y^9 + 343 \)
Это тоже сумма кубов. Представим 343 как \(7^3\) и получим:
\[ (xy^3)^3 + 7^3 \]
\[ = (xy^3 + 7)((xy^3)^2 - xy^3 \cdot 7 + 7^2) \]
\[ = (xy^3 + 7)(x^2y^6 - 7xy^3 + 49) \]
Задача 2: Докажите, что \( 87^3 - 42^3 \) делится на 15
Пусть \( a = 87 \) и \( b = 42 \). Мы имеем разность кубов \( a^3 - b^3 \), которая делится на \( a - b \).
Выразим:
\[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \]
Рассчитаем \( a - b \):
\[ a - b = 87 - 42 = 45 \]
Теперь проверим, что число 45 делится на 15:
\[ 45 \div 15 = 3 \quad \text{(делится на 15)} \]
Следовательно, \( 87^3 - 42^3 \) также будет делиться на 15.
