Для решения задачи найдем значение (\cos \alpha) на основе заданного значения (\sin \alpha = \frac{2}{3}) и угла (\alpha) в диапазоне (90° \leq \alpha \leq 180°).
Шаг 1: Используем тригонометрическую тождество
Мы знаем, что для любого угла (\alpha\ выполняется следующее тождество:
[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
]
Шаг 2: Подставим известное значение
Подставим (\sin \alpha = \frac{2}{3}) в это тождество:
[
\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1
]
Проведем вычисления:
[
\frac{4}{9} + \cos^2 \alpha = 1
]
Шаг 3: Выразим (\cos^2 \alpha)
Теперь вычтем (\frac{4}{9}) из 1:
[
\cos^2 \alpha = 1 - \frac{4}{9}
]
Переведем 1 в дробный вид:
[
1 = \frac{9}{9}
]
Теперь продолжаем:
[
\cos^2 \alpha = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}
]
Шаг 4: Найдем (\cos \alpha)
Теперь мы извлекаем корень из (\cos^2 \alpha):
[
\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}
]
Шаг 5: Определим знак (\cos \alpha)
Учитывая, что (\alpha) находится в диапазоне (90° \leq \alpha \leq 180°) (то есть во втором квадранте), где косинус отрицателен, мы можем записать:
[
\cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}
]
Ответ
Таким образом, значение (\cos \alpha) равно:
[
\cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}
]
Это решение иллюстрирует, как связаны между собой значения синуса и косинуса в зависимости от знаков в различных квадрантах.
