Найди c o s α cosα , если s i n α = 3 2 sinα= 2 3 ​ ​ и 90 ° ≤ α ≤ 180 ° 90°≤α≤180° .

Для решения задачи найдем значение \(\cos \alpha\) на основе заданного значения \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\) и угла \(\alpha\) в диапазоне \(90° \leq \alpha \leq 180°\).

Шаг 1: Используем тригонометрическую тождество

Мы знаем, что для любого угла \(\alpha\ выполняется следующее тождество: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] ### Шаг 2: Подставим известное значение Подставим \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\) в это тождество:

\[ \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \]

Проведем вычисления:

\[ \frac{4}{9} + \cos^2 \alpha = 1 \]

Шаг 3: Выразим \(\cos^2 \alpha\)

Теперь вычтем \(\frac{4}{9}\) из 1:

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{4}{9} \]

Переведем 1 в дробный вид:

\[ 1 = \frac{9}{9} \]

Теперь продолжаем:

\[ \cos^2 \alpha = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \]

Шаг 4: Найдем \(\cos \alpha\)

Теперь мы извлекаем корень из \(\cos^2 \alpha\):

\[ \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \]

Шаг 5: Определим знак \(\cos \alpha\)

Учитывая, что \(\alpha\) находится в диапазоне \(90° \leq \alpha \leq 180°\) (то есть во втором квадранте), где косинус отрицателен, мы можем записать:

\[ \cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3} \]

Ответ

Таким образом, значение \(\cos \alpha\) равно:

\[ \cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3} \]

Это решение иллюстрирует, как связаны между собой значения синуса и косинуса в зависимости от знаков в различных квадрантах.