Для того чтобы решить уравнение (\sqrt{61 - x^2} = 5), мы будем следовать следующим шагам:
Шаг 1: Изолировать корень
Мы уже видим, что корень из (61 - x^2) изолирован, поэтому можем перейти к следующему шагу.
Шаг 2: Возвести обе стороны в квадрат
Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе стороны уравнения в квадрат:
[
(\sqrt{61 - x^2})^2 = 5^2
]
Это дает нам:
[
61 - x^2 = 25
]
Шаг 3: Решить полученное уравнение
Теперь, упростим уравнение:
[
61 - x^2 = 25
]
Переносим (25) на левую сторону:
[
61 - 25 = x^2
]
Итак:
[
36 = x^2
]
Шаг 4: Находим (x)
Теперь, чтобы найти (x), извлечем квадратный корень из обоих сторон уравнения:
[
x = \pm \sqrt{36}
]
Это дает нам два решения:
[
x = 6 \quad \text{и} \quad x = -6
]
Шаг 5: Проверка решения
Важно проверить найденные значения, подставив их обратно в исходное уравнение:
Для (x = 6):
[
\sqrt{61 - 6^2} = \sqrt{61 - 36} = \sqrt{25} = 5
]
Для (x = -6):
[
\sqrt{61 - (-6)^2} = \sqrt{61 - 36} = \sqrt{25} = 5
]
Обе проверки подтверждают, что решения корректны.
Ответ
Таким образом, решения уравнения (\sqrt{61 - x^2} = 5) являются:
[
x = 6 \quad \text{и} \quad x = -6
]
