игральный кубик бросают 5 раз найдите вероятность того что 6 очков выпадет ровно 3 раза ответ округлите до тысячных
Для решения задачи о вероятности выпадения 6 очков при броске игрального кубика 5 раз, можем использовать формулу биномиального распределения, так как у нас есть фиксированное количество испытаний, два возможных исхода (выпадение 6 и не выпадение 6) и мы хотим узнать, сколько раз произойдет определённое событие (в данном случае, выпадение 6).
Шаги решения:
Определение параметров:
- Вероятность выпадения 6 очков при одном броске игрального кубика: \( p = \frac{1}{6} \) (так как шесть граней, и только одна из них — 6).
- Вероятность того, что 6 не выпадет: \( q = 1 - p = \frac{5}{6} \).
- Общее количество бросков: \( n = 5 \).
- Количество успешных исходов (выпадение 6 очков): \( k = 3 \).
Формула биномиального распределения: Вероятность того, что событие произойдет ровно \( k \) раз в \( n \) испытаниях, можно вычислить по формуле: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] где \( C(n, k) \) — это биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Вычисление биномиального коэффициента: Для \( n = 5 \) и \( k = 3 \): \[ C(5, 3) = \frac{5!}{3! \cdot (5-3)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \]
Вычисление вероятности: Подставим все значения в формулу: \[ P(X = 3) = C(5, 3) \cdot p^3 \cdot q^{5-3} \] \[ P(X = 3) = 10 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{2} \]
Выполним вычисления:
- \(\left(\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{1}{216}\)
- \(\left(\frac{5}{6}\right)^{2} = \frac{25}{36}\)
Теперь подставим: \[ P(X = 3) = 10 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{25}{36} \]
Вычисляем: \[ P(X = 3) = 10 \cdot \frac{25}{7776} = \frac{250}{7776} \]
Окончательная вероятность: Теперь превращаем дробь в десятичный формат: \[ \frac{250}{7776} \approx 0,03215 \]
Округление до тысячных: Округляем до третьего знака после запятой: \[ P(X = 3) \approx 0,032 \]
Ответ:
Вероятность того, что 6 очков выпадет ровно 3 раза в 5 бросках кубика, составляет примерно 0,032.
