В проводнике переменного сечения концентрация свободных электронов 9×10¹⁸ 1/м³. Сила тока, идущего по проводнику, равна 1 А Определите скорости направленного движения электронов в…
В проводнике переменного сечения концентрация свободных электронов 9×10¹⁸ 1/м³. Сила тока, идущего по проводнику, равна 1 А Определите скорости направленного движения электронов в сечениях с площадью S₁ = 5 мм² и S2 = 1 мм²
Для решения данной задачи будем использовать формулу для расчета плотности тока и скорости направленного движения электронов в проводнике.
Формула плотности тока (J): \[ J = n \cdot e \cdot v_d \] где:
- \( J \) — плотность тока (в Амперах на квадратный метр, А/м²),
- \( n \) — концентрация свободных электронов (в 1/м³),
- \( e \) — элементарный заряд (приблизительно \( 1.6 \times 10^{-19} \) Кл),
- \( v_d \) — скорость направленного движения (дрифтовая скорость) электронов (в м/с).
Сначала найдём плотность тока в проводнике: Сила тока \( I \) и плотность тока \( J \) связаны следующей формулой: \[ I = J \cdot S \] где \( S \) — площадь поперечного сечения проводника (в м²). Следовательно, можно выразить плотность тока как: \[ J = \frac{I}{S} \]
Подсчитаем плотность тока для каждого участка:
Для \( S_1 = 5 \, \text{мм}^2 = 5 \times 10^{-6} \, \text{м}^2 \): \[ J_1 = \frac{1 \, \text{A}}{5 \times 10^{-6} \, \text{m}^2} = 2 \times 10^{5} \, \text{A/m}^2 \]
Для \( S_2 = 1 \, \text{мм}^2 = 1 \times 10^{-6} \, \text{м}^2 \): \[ J_2 = \frac{1 \, \text{A}}{1 \times 10^{-6} \, \text{m}^2} = 1 \times 10^{6} \, \text{A/m}^2 \]
Теперь найдем скорость направленного движения электронов для каждого участка.
Подставим \( J \) в формулу плотности тока:
\[ v_d = \frac{J}{n \cdot e} \]
Для \( S_1 \): \[ v_{d1} = \frac{2 \times 10^{5} \, \text{A/m}^2}{9 \times 10^{18} \, \text{1/m}^3 \cdot (1.6 \times 10^{-19} \, \text{C})} = \frac{2 \times 10^{5}}{(9 \times 1.6) \times 10^{18} \times 10^{-19}} \] \[ v_{d1} = \frac{2 \times 10^{5}}{14.4 \times 10^{-1}} \approx \frac{2 \times 10^{5}}{1.44} \approx 1.39 \times 10^{5} \, \text{м/с} \]
Для \( S_2 \): \[ v_{d2} = \frac{1 \times 10^{6} \, \text{A/m}^2}{9 \times 10^{18} \, \text{1/m}^3 \cdot (1.6 \times 10^{-19} \, \text{C})} = \frac{1 \times 10^{6}}{(9 \times 1.6) \times 10^{18} \times 10^{-19}} \] \[ v_{d2} = \frac{1 \times 10^{6}}{14.4 \times 10^{-1}} \approx \frac{1 \times 10^{6}}{1.44} \approx 6.94 \times 10^{5} \, \text{м/с} \]
Таким образом, скорости направленного движения электронов в проводнике будут равны приблизительно:
- \( v_{d1} \approx 1.39 \times 10^{-4} \, \text{м/с} \) (для \( S_1 = 5 \, \text{мм}^2 \))
- \( v_{d2} \approx 6.94 \times 10^{-4} \, \text{м/с} \) (для \( S_2 = 1 \, \text{мм}^2 \))
Это значит, что скорость дрифтового движения электронов зависит от площади поперечного сечения проводника и, следовательно, от плотности тока в разных участках.
