Космический зонд двигается по низкой круговой орбите вокруг карликовой планеты, совершая один оборот за время T = 135 мин. Чему равна средняя плотность р этой карликовой планеты?…

Для решения этой задачи сначала воспользуемся законом всемирного тяготения и законом кругового движения. Нам необходимо определить среднюю плотность карликовой планеты на основе данных о её орбите.

Шаг 1: Определение необходимых формул

1. Закон всемирного тяготения: \[ F = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2} \] где:

   • \( F \) — сила тяжести,
   • \( G \) — гравитационная постоянная,
   • \( m_1 \) — масса карликовой планеты,
   • \( m_2 \) — масса космического зонда,
   • \( r \) — радиус орбиты.

2. Формула для центростремительного ускорения \( a \), которое действует на зонд: \[ a = \frac{v^2}{r} \] где \( v \) — скорость зонда.

3. Связь скорости и периода обращения \( T \): \[ v = \frac{2\pi r}{T} \]

Шаг 2: Связь между силами

Сила тяжести также равна центростремительной силе: \[ \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2} = m_2 \cdot a \] Подставляем в уравнение \( a = \frac{v^2}{r} \): \[ \frac{G \cdot m_1}{r^2} = \frac{v^2}{r} \]

Теперь подставим \( v = \frac{2\pi r}{T} \): \[ \frac{G \cdot m_1}{r^2} = \frac{(2\pi r)^2}{T^2 r} \] Упростим это уравнение: \[ G \cdot m_1 = \frac{4\pi^2 r}{T^2} \]

Шаг 3: Выражение массы через плотность

Масса \( m_1 \) карликовой планеты может быть связана с её объёмом и плотностью \( \rho \): \[ m_1 = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 \]

Теперь подставим \( m_1 \) в уравнение: \[ G \cdot \left(\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3\right) = \frac{4\pi^2 r}{T^2} \]

Шаг 4: Найдем плотность

Упростим уравнение, разделив обе стороны на \( 4\pi \): \[ G \cdot \frac{\rho\cdot r^2}{3} = \frac{\pi r}{T^2} \]

Решим для \( \rho \): \[ \rho = \frac{3\pi}{G\cdot T^2} \]

Шаг 5: Подстановка значений

Теперь подставим известные значения. Для периода \( T = 135 \) минут, переведем в секунды: \[ T = 135 \times 60 = 8100 \text{ секунд} \]

Гравитационная постоянная: \[ G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ м}^3 \cdot \text{кг}^{-1} \cdot \text{с}^{-2} \]

Теперь подставим эти значения: \[ \rho = \frac{3 \cdot \pi}{6.67 \times 10^{-11} \cdot (8100)^2} \]

Шаг 6: Вычисления

1. Вычислим \( (8100)^2 \): \[ (8100)^2 = 65610000 \]

2. Теперь подставляем это в формулу: \[ \rho = \frac{3 \cdot \pi}{6.67 \times 10^{-11} \cdot 65610000} \approx \frac{9.42478}{4.38 \times 10^{-3}} \approx 2150.00 \text{ кг/m}^3 \]

3. Преобразуем в г/см³: \[ \rho = \frac{2150.00 \text{ кг/m}^3}{1000} = 2.15 \text{ г/cm}^3 \]

Ответ

Средняя плотность карликовой планеты составляет примерно \( \rho \approx 2.15 \text{ г/cm}^3 \) (округлено до сотых).