Для решения этой задачи сначала воспользуемся законом всемирного тяготения и законом кругового движения. Нам необходимо определить среднюю плотность карликовой планеты на основе данных о её орбите.
Шаг 1: Определение необходимых формул
Закон всемирного тяготения:
[
F = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2}
]
где:
- ( F ) — сила тяжести,
- ( G ) — гравитационная постоянная,
- ( m_1 ) — масса карликовой планеты,
- ( m_2 ) — масса космического зонда,
- ( r ) — радиус орбиты.
Формула для центростремительного ускорения ( a ), которое действует на зонд:
[
a = \frac{v^2}{r}
]
где ( v ) — скорость зонда.
Связь скорости и периода обращения ( T ):
[
v = \frac{2\pi r}{T}
]
Шаг 2: Связь между силами
Сила тяжести также равна центростремительной силе:
[
\frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2} = m_2 \cdot a
]
Подставляем в уравнение ( a = \frac{v^2}{r} ):
[
\frac{G \cdot m_1}{r^2} = \frac{v^2}{r}
]
Теперь подставим ( v = \frac{2\pi r}{T} ):
[
\frac{G \cdot m_1}{r^2} = \frac{(2\pi r)^2}{T^2 r}
]
Упростим это уравнение:
[
G \cdot m_1 = \frac{4\pi^2 r}{T^2}
]
Шаг 3: Выражение массы через плотность
Масса ( m_1 ) карликовой планеты может быть связана с её объёмом и плотностью ( \rho ):
[
m_1 = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3
]
Теперь подставим ( m_1 ) в уравнение:
[
G \cdot \left(\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3\right) = \frac{4\pi^2 r}{T^2}
]
Шаг 4: Найдем плотность
Упростим уравнение, разделив обе стороны на ( 4\pi ):
[
G \cdot \frac{\rho\cdot r^2}{3} = \frac{\pi r}{T^2}
]
Решим для ( \rho ):
[
\rho = \frac{3\pi}{G\cdot T^2}
]
Шаг 5: Подстановка значений
Теперь подставим известные значения. Для периода ( T = 135 ) минут, переведем в секунды:
[
T = 135 \times 60 = 8100 \text{ секунд}
]
Гравитационная постоянная:
[
G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ м}^3 \cdot \text{кг}^{-1} \cdot \text{с}^{-2}
]
Теперь подставим эти значения:
[
\rho = \frac{3 \cdot \pi}{6.67 \times 10^{-11} \cdot (8100)^2}
]
Шаг 6: Вычисления
Вычислим ( (8100)^2 ):
[
(8100)^2 = 65610000
]
Теперь подставляем это в формулу:
[
\rho = \frac{3 \cdot \pi}{6.67 \times 10^{-11} \cdot 65610000} \approx \frac{9.42478}{4.38 \times 10^{-3}} \approx 2150.00 \text{ кг/m}^3
]
Преобразуем в г/см³:
[
\rho = \frac{2150.00 \text{ кг/m}^3}{1000} = 2.15 \text{ г/cm}^3
]
Ответ
Средняя плотность карликовой планеты составляет примерно ( \rho \approx 2.15 \text{ г/cm}^3 ) (округлено до сотых).
