Игральный кубик бросают пять раз. Найдите вероятность того, что 6 очков выпадет ровно 3 раза. Ответ округлите до тысячных.

Для решения задачи о вероятности выпадения 6 очков на игральном кубике при пяти бросках, когда 6 очков должно выпасть ровно 3 раза, можно использовать биномиальное распределение.

Шаг 1: Определение параметров

• n (Количество испытаний) = 5 (количество бросков)
• k (Количество успехов) = 3 (количество раз, когда мы хотим, чтобы выпало 6)
• p (Вероятность успеха в одном испытании) = 1/6 (вероятность того, что на кубике выпадет 6, так как у нас стандартный шестигранный кубик)

Шаг 2: Формула биномиального распределения

Вероятность того, что событие произойдет ровно k раз в n независимых испытаниях описывается формулой биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

где:

• \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — биномиальный коэффициент, который определяет количество способов выбрать k успехов из n испытаний.

Шаг 3: Вычисление биномиального коэффициента

В нашем случае:

\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3! \cdot (5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \]

Шаг 4: Подставим все значения в формулу

Теперь подставим наши значения в формулу:

\[ P(X = 3) = C(5, 3) \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{5 - 3} \]

Теперь проведем расчеты:

1. \( C(5, 3) = 10 \)
2. \( \left(\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{1}{216} \)
3. \( \left(\frac{5}{6}\right)^{2} = \left(\frac{25}{36}\right) \)

Теперь перемножим эти значения:

\[ P(X = 3) = 10 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{25}{36} \]

Шаг 5: Упрощение

Сначала перемножим \( 10 \) и \( \frac{1}{216} \):

\[ 10 \cdot \frac{1}{216} = \frac{10}{216} \]

Теперь умножим на \( \frac{25}{36} \):

\[ P(X = 3) = \frac{10 \cdot 25}{216 \cdot 36} = \frac{250}{7776} \]

Шаг 6: Вычисление результата

Теперь нам нужно выполнить деление:

\[ P(X = 3) ≈ 0.03215 \]

Шаг 7: Округление

Округляем до тысячных:

\[ P(X = 3) ≈ 0.032 \]

Ответ

Таким образом, вероятность того, что 6 очков выпадет ровно 3 раза при броске игрального кубика 5 раз, составляет примерно 0.032.