Найдите вероятность того, что при семикратном бросании игрального кубика 6 очков выпадет не менее 4, но не более 5 раз. Ответ округлите до сотых.
Для решения этой задачи воспользуемся биномиальным распределением, так как мы имеем фиксированное количество попыток (в нашем случае — 7 бросков кубика), два возможных исхода (выпадение 6 или не выпадение 6), и вероятность успеха фиксирована.
Шаг 1: Определим параметры задачи
- Общее количество бросков (n): 7
- Вероятность успеха (p): Для игрального кубика шанс выбросить 6 равен \( \frac{1}{6} \).
- Вероятность неудачи (q): Вероятность не выбросить 6 будет \( q = 1 - p = \frac{5}{6} \).
Шаг 2: Используем биномиальную формулу
Биномиальная формула для вычисления вероятности \( k \) успехов (в данном случае 6 очков) за \( n \) испытаний выглядит следующим образом:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]
где:
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \),
- \( p \) — вероятность успеха,
- \( q \) — вероятность неудачи,
- \( n \) — общее количество испытаний,
- \( k \) — количество успехов.
Шаг 3: Рассчитаем вероятности для \( k = 4 \) и \( k = 5 \)
1. Для \( k = 4 \):
\[ C(7, 4) = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \] \[ P(X = 4) = C(7, 4) \cdot p^4 \cdot q^{7-4} = 21 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 \]
Теперь подставим значения:
\[ P(X = 4) = 21 \cdot \frac{1}{1296} \cdot \frac{125}{216} \] Считаем постепенно:
\[ P(X = 4) \approx 21 \cdot \frac{125}{27648} = \frac{2625}{27648} \approx 0.095 \]
Для \( k = 5 \):**
\[ C(7, 5) = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \] \[ P(X = 5) = C(7, 5) \cdot p^5 \cdot q^{7-5} = 21 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^5 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2 \]
Теперь подставим значения:
\[ P(X = 5) = 21 \cdot \frac{1}{7776} \cdot \frac{25}{36} \] Считаем постепенно:
\[ P(X = 5) \approx 21 \cdot \frac{25}{279936} = \frac{525}{279936} \approx 0.00188 \]
Шаг 4: Сложим вероятности \( P(X = 4) \) и \( P(X = 5) \)
Теперь нам нужно найти общую вероятность того, что 6 выпадет не менее 4, но не более 5 раз:
\[ P(4 \leq X \leq 5) = P(X = 4) + P(X = 5) \approx 0.095 + 0.00188 \approx 0.09688 \]
Шаг 5: Округлим ответ до сотых
Ответ: \[ \boxed{0.10} \]
Таким образом, вероятность того, что при семикратном бросании игрального кубика 6 очков выпадет не менее 4, но не более 5 раз, составляет примерно 0.10.
