Пусть Y - случайная величина, распределенная нормально с математическим ожиданием 20 и стандартным отклонением 4. Найдите вероятность того, что случайно выбранное значение Y будет…

Для решения задачи найдем вероятность того, что нормально распределенная случайная величина \( Y \) с математическим ожиданием \( \mu = 20 \) и стандартным отклонением \( \sigma = 4 \) будет больше 25.

Шаг 1: Преобразование к стандартному нормальному распределению

Сначала нужно преобразовать случайную величину \( Y \) в стандартную нормальную случайную величину \( Z \) с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1. Это делается по формуле:

\[ Z = \frac{Y - \mu}{\sigma} \]

Подставим значения:

\[ Z = \frac{Y - 20}{4} \]

Шаг 2: Найдем \( Z \) для \( Y = 25 \)

Теперь мы хотим найти \( Z \), когда \( Y = 25 \):

\[ Z = \frac{25 - 20}{4} = \frac{5}{4} = 1.25 \]

Шаг 3: Используем таблицу стандартного нормального распределения

Теперь нам нужно найти вероятность того, что \( Z \) больше 1.25. В таблице значений стандартного нормального распределения (или с использованием калькулятора) находим:

\[ P(Z < 1.25) \]

По таблице стандартного нормального распределения:

\[ P(Z < 1.25) \approx 0.8944 \]

Это означает, что вероятность того, что \( Z \) меньше 1.25, составляет примерно 89.44%. Чтобы найти вероятность того, что \( Z \) больше 1.25, используем:

\[ P(Z > 1.25) = 1 - P(Z < 1.25) \]

Шаг 4: Вычисления

Подставим значение, найденное ранее:

\[ P(Z > 1.25) = 1 - 0.8944 = 0.1056 \]

Шаг 5: Окончательный ответ

Округляем результат до тысячных:

\[ P(Y > 25) \approx 0.106 \]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранное значение \( Y \) будет больше 25, составляет приблизительно 0.106.