Для решения задачи найдем вероятность того, что нормально распределенная случайная величина ( Y ) с математическим ожиданием ( \mu = 20 ) и стандартным отклонением ( \sigma = 4 ) будет больше 25.
Шаг 1: Преобразование к стандартному нормальному распределению
Сначала нужно преобразовать случайную величину ( Y ) в стандартную нормальную случайную величину ( Z ) с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1. Это делается по формуле:
[
Z = \frac{Y - \mu}{\sigma}
]
Подставим значения:
[
Z = \frac{Y - 20}{4}
]
Шаг 2: Найдем ( Z ) для ( Y = 25 )
Теперь мы хотим найти ( Z ), когда ( Y = 25 ):
[
Z = \frac{25 - 20}{4} = \frac{5}{4} = 1.25
]
Шаг 3: Используем таблицу стандартного нормального распределения
Теперь нам нужно найти вероятность того, что ( Z ) больше 1.25. В таблице значений стандартного нормального распределения (или с использованием калькулятора) находим:
[
P(Z < 1.25)
]
По таблице стандартного нормального распределения:
[
P(Z < 1.25) \approx 0.8944
]
Это означает, что вероятность того, что ( Z ) меньше 1.25, составляет примерно 89.44%. Чтобы найти вероятность того, что ( Z ) больше 1.25, используем:
[
P(Z > 1.25) = 1 - P(Z < 1.25)
]
Шаг 4: Вычисления
Подставим значение, найденное ранее:
[
P(Z > 1.25) = 1 - 0.8944 = 0.1056
]
Шаг 5: Окончательный ответ
Округляем результат до тысячных:
[
P(Y > 25) \approx 0.106
]
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранное значение ( Y ) будет больше 25, составляет приблизительно 0.106.
