Даны векторы а {-6; 2} и b {9; 13} найдите косинус угла между векторами а и b .

Чтобы найти косинус угла между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), мы можем использовать формулу, основанную на скалярном произведении векторов.

Шаг 1: Формулы

Косинус угла \( \theta \) между двумя векторами можно найти по формуле:

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} \]

где:

• \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) — скалярное произведение векторов,
• \( |\mathbf{a}| \) и \( |\mathbf{b}| \) — длины (модули) векторов.

Шаг 2: Находим скалярное произведение

Скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) рассчитывается по формуле:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 \]

Для заданных векторов \( \mathbf{a} = \{-6; 2\} \) и \( \mathbf{b} = \{9; 13\} \):

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-6) \cdot 9 + 2 \cdot 13 \]

Вычисляем по частям:

• \( -6 \cdot 9 = -54 \)
• \( 2 \cdot 13 = 26 \)

Теперь складываем результаты:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -54 + 26 = -28 \]

Шаг 3: Находим длины векторов

Длина вектора \( \mathbf{a} \) вычисляется следующим образом:

\[ |\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} = \sqrt{(-6)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \]

Для вектора \( \mathbf{b} \):

\[ |\mathbf{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2} = \sqrt{9^2 + 13^2} = \sqrt{81 + 169} = \sqrt{250} = 5\sqrt{10} \]

Шаг 4: Подставляем значения в формулу

Теперь подставим все найденные значения в формулу для косинуса угла:

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} = \frac{-28}{(2\sqrt{10})(5\sqrt{10})} \]

Далее, упрощаем знаменатель:

\[ (2\sqrt{10})(5\sqrt{10}) = 10 \cdot 10 = 100 \]

Таким образом, получаем:

\[ \cos(\theta) = \frac{-28}{100} = -0.28 \]

Ответ

Косинус угла между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) равен \( -0.28 \).