Построй график функции. 2x²+6x+3,x> либо равно -2 x+2,x< -2 и определи, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Для решения этой задачи мы сначала построим график функции и затем определим, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) будет иметь ровно две общие точки с графиком.

Шаг 1: Построение графика функции

У нас есть кусочная функция:

1. \( f(x) = 2x^2 + 6x + 3 \) для \( x \geq -2 \)
2. \( f(x) = -x + 2 \) для \( x < -2 \)

1. Построим график \( f(x) = 2x^2 + 6x + 3 \)

Это уравнение представляет собой параболу, открывающуюся вверх. Чтобы нарисовать ее, найдем несколько ключевых точек, а также вершину.

• Вершина параболы: Вершина параболы \( ax^2 + bx + c \) находится по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \). В нашем случае \( a = 2 \), \( b = 6 \): \[ x = -\frac{6}{2 \cdot 2} = -\frac{6}{4} = -1.5 \]

• Значение функции в вершине: \[ f(-1.5) = 2(-1.5)^2 + 6(-1.5) + 3 = 2(2.25) - 9 + 3 = 4.5 - 9 + 3 = -1.5 \]

Таким образом, точка вершины: \((-1.5, -1.5)\).

• Найдем еще несколько точек:

  • При \( x = -2 \): \[ f(-2) = 2(-2)^2 + 6(-2) + 3 = 8 - 12 + 3 = -1 \] Точка: \((-2, -1)\).

  • При \( x = 0 \): \[ f(0) = 3 \] Точка: \((0, 3)\).

• Форма графика: Парабола, проходящая через точки \((-2, -1)\), \((-1.5, -1.5)\) и \((0, 3)\), открытая вверх.

2. Построим график \( f(x) = -x + 2 \)

Это линейная функция с угловым коэффициентом \(-1\) и пересечением с осью \( y \) в точке \((0, 2)\).

• Для некоторой точки \( x = -2 \): \[ f(-2) = -(-2) + 2 = 2 + 2 = 4 \] Точка: \((-2, 4)\).

Шаг 2: Определяем значения \( m \)

Теперь мы хотим найти такие значения \( m \), что прямая \( y = m \) пересекает график функции ровно в двух точках.

1. Для части \( y = 2x^2 + 6x + 3 \):

   • У нас будет два решения, если прямая пересекает параболу дважды.
   • Это происходит, когда \[ m < \text{минимальное значение параболы} = -1.5. \]

2. Для части \( y = -x + 2 \):

   • Если прямая \( y = m \) пересекает данную линию, это будет единственный случай пересечения, если \( m = 2 \).

Итог

Таким образом, прямая \( y = m \) пересечет график функции в ровно двух точках, когда: \[ m < -1.5. \]

Итак, мы имеем условия для \( m \):

• Если \( m < -1.5 \), будет два пересечения с графиком параболы для \( x \geq -2 \).
• Предположительно прямая (линейная часть функции) не дает дополнительных пересечений в данной области (в \( m = 2 \) максимум одного пересечения).

Это решение полностью охватывает, как построить график функции и определить значения \( m \).